Question

已知函数f（x）=ln（1+x），g(x)=a+bx-12x2+13x3，函数y...

已知函数f（x）=ln（1+x），g(x)=a+bx-12x2+13x3，函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线 （1）求a、b； （2）证明：f（x）≤g（x）； （3）对任意的x1、x2∈（-1，+∞），（x1＜x2），当x∈（x1，x2）时，证明：f(x)-f(x1)x-x1＞f(x)-f(x2)x-x2．

Answer 1

（1）解：求导函数可得f′(x)=11+x，g′（x）=b-x+x2，
∵函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线
∴g（0）=0，f′（0）=g′（0）
∴a=0，b=1． …（4分）
（2）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x+12x2-13x3（x＞-1），∴h′（x）=-x3x+1…（5分）
令h′（x）＞0可得-1＜x＜0；h′（x）＜0可得x＜-1或x＞0，∵x＞-1，∴x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数． …（6分）
∴h（x）max=h（0）=0，
∴h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤g（x）． …（8分）
（3）证明：设u（x）=（1+x）[f（x）-f（x1）]-（x-x1），则u′（x）=ln（1+x）-ln（1+x1）．
当x∈（x1，x2）时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，
又u（x1）=0，故u（x）＞0，即f(x)-f(x1)x-x1＞11+x． …（10分）
设v（x）=（1+x）[f（x2）-f（x）]-（x2-x），则v′（x）=ln（1+x2）-ln（1+x）．
当x∈（x1，x2）时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，
又v（x2）=0，故v（x）＞0，即f(x)-f(x2)x-x2＜11+x．
综上，x∈（x1，x2）时，证明：f(x)-f(x1)x-x1＞f(x)-f(x2)x-x2． …（12分）