Question

已知方程√x+3√y=√300 求它的正整数解的个数

Answer 1

解：

1°待定系数法：（较冗余，但好理解）

  1′设√x=t√y：

   ∴√x+3√y=(3+t)√y=√300=2√75=5√12=10√3

   ∴当{3+t=1，√y=√300}时，y=300，x无解；

   当{3+t=2，√y=√75}时，y=75，x无解；

   当{3+t=5，√y=√12}时，y=12，x=48；

   当{3+t=10，√y=√3}时，y=3，x=147.

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   2′设√y=t√x：

   ∴√x+3√y=(3t+1)√x=√300=2√75=5√12=10√3

   ∴当{3t+1=1，√x=√300}时，x=300，y=0（舍去）；

   当{3t+1=2，√x=√75}时，x=75，y=25/3（舍去）；

   当{3t+1=5，√x=√12}时，x=12，y=64/3（舍去）；

   当{3t+1=10，√x=√3}时，x=3，y=27.

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   综上所述：

   {x=48，x=147，x=3

   {y=12，y=3，y=27

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2°分配法：（异曲同工了，较简洁）

   √x+3√y=√300=10√3,

   ∵x、y为正整数,

   ∴设√x=m√3，3√y=3n√3（m，n均为正整数）

   即 m+3n=10；

   解得 

   m=1,n=3;

   m=4,n=2;

   m=7,n=1;

   ∴x、y正整数解有三组：

   {x=3，x=48，x=147

   {y=27，y=12，y=3

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希望能帮到您。

Answer 2

√x+3√y
=10√3
=√3+9√3
=4√3+6√3
=7√3+3√3
把10拆开就可以
很明显看出正好有三组正整数解