已知方程√x+3√y=√300 求它的正整数解的个数
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解：
1°待定系数法：（较冗余，但好理解）
1′设√x=t√y：
∴√x+3√y=(3+t)√y=√300=2√75=5√12=10√3
∴当{3+t=1，√y=√300}时，y=300，x无解；
当{3+t=2，√y=√75}时，y=75，x无解；
当{3+t=5，√y=√12}时，y=12，x=48；
当{3+t=10，√y=√3}时，y=3，x=147.
2′设√y=t√x：
∴√x+3√y=(3t+1)√x=√300=2√75=5√12=10√3
∴当{3t+1=1，√x=√300}时，x=300，y=0（舍去）；
当{3t+1=2，√x=√75}时，x=75，y=25/3（舍去）；
当{3t+1=5，√x=√12}时，x=12，y=64/3（舍去）；
当{3t+1=10，√x=√3}时，x=3，y=27.
综上所述：
{x=48，x=147，x=3
{y=12，y=3，y=27
2°分配法：（异曲同工了，较简洁）
√x+3√y=√300=10√3,
∵x、y为正整数,
∴设√x=m√3，3√y=3n√3（m，n均为正整数）
即 m+3n=10；
解得
m=1,n=3;
m=4,n=2;
m=7,n=1;
∴x、y正整数解有三组：
{x=3，x=48，x=147
{y=27，y=12，y=3
希望能帮到您。
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