Question

如图，在RT三角形ABC中，AB=AC，角BAC=90，角1=角2，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE

Answer 1

延长CE于BA的延长线交于点F。
因为CE垂直BE，所以，角BEC=角BEF=90度；
又因为BE=BE，角2=角1，所以，三角形BCE全等三角形BEF，
所以，CE=EF，CF=2CE。
因为角BAC=90，所以，角CAF=90度，所以，角ACF+角F=90度。
因为CE垂直BE，所以，角1+角F=90度，所以，角ACF=角1。
又因为AC=BC，角CAF=角BAD=90度，
所以，三角形CAF全等三角形BAD，所以，CF=BD，
即有BD=2CE。

Answer 2

(1)延长CE与BA交于F，因为CE垂直于BD，角1=角2，BE=BE，所以三角形EBC与三角形EBF全等，所以EF=EC，所以CF=2CE。又因为角ADB=角EDC，所以角1=角ACF，又AC=AB所以三角形ADB与AFC全等，所以BD=CF BD=2CE
(2)用三角函数，设AB=a，BD=atan22.5°AD=asin22.5°CD=a-asin22.5°CE=CDcos22.5°=acos22.5°-asin22.5°cos22.5°
2os22.5°sin22.5°=sin45°
tan22.5°=sin45°/(1+cos45°)=√2-1
cos22.5°=(3√2-2)/4
BD=(√2-1)a CE=(√2-1)/2a
BD=2CE

Answer 3

延长CE于BA的延长线交于点F。
因为CE垂直BE，所以，角BEC=角BEF=90度；
又因为BE=BE，角2=角1，所以，三角形BCE全等三角形BEF，
所以，CE=EF，CF=2CE。
因为角BAC=90，所以，角CAF=90度，所以，角ACF+角F=90度。
因为CE垂直BE，所以，角1+角F=90度，所以，角ACF=角1。
又因为AC=BC，角CAF=角BAD=90度，
所以，三角形CAF全等三角形BAD，所以，CF=BD，
即有BD=2CE。

Answer 4

延长CE与BA交于F，因为CE垂直于BD，角1=角2，BE=BE，所以三角形EBC与三角形EBF全等，所以EF=EC，所以CF=2CE。又因为角ADB=角EDC，所以角1=角ACF，又AC=AB所以三角形ADB与AFC全等，所以BD=CF，得证。