Question

当0<a≤b≤c≤d时,求f(a,b,c,d)=[a^b*b^c*c^d*d^a]/[b^a*c^b*d^c*a^d]的最小值

求详解……
满意者追加100

Answer 1

楼上……题目要算的是一个实数啊,不能带字母的。
注意到分子分母都为正，我们证明a^b*b^c*c^d*d^a>=(b^a*c^b*d^c*a^d),从而f(a,b,c,d)>=1
两边取对数，等价于证明blna+cinb+dlnc+alnd>=alnb+blnc+clnd+dlna
(b-d)in(a/c)>=(a-c)in(b/d)
记f(x)=inx,上式变为(f(a)-f(c))/(a-c)>=(f(b)-f(d))/(b-d))
固定a,b,c,将右边看成关于d的函数g(d)=(f(b)-f(d))/(b-d)),即g(d)为inx图象上横坐标为d的点到横坐标为b的点连线斜率，而后者是固定的。
我们证明g(x)是递减的，从而g(d)<=g(c),再把右边看成关于b的函数，则b=a时取得最大。这样就证明了不等式。
对g(x)递减的证明只需求导即可。

Answer 2

原式通过整理可得
a^(b-d) * b^(c-a) * c^(d-b) * d^(a-c)
b-d<=0
c-a>=0
d-b>=0
a-c<=0
所以相当于 [b^(c-a) * c^(d-b)]/[a^(d-b) * d^(c-a)]
再整理可得 [(b/d)^(c-a)] * [(c/a)^(d-b)]
又因为0<a≤b≤c≤d 可知 b/d<=1 c/a>=1 c-a>=0 d-b>=0 所以
(b/d)^(c-a)<=1
(c/a)^(d-b)>=1
所以最小值就应该是
(b/d)^(c-a)

Answer 3

原式≥[a^a*b^b*c^c*d^d]/[b^b*c^c*d^d*a^d]=a^(a/d)

追问

过程？？？？？

追答

b≥a>0 a^b≥a^a(能理解吗？要不用log证明一下？) b^c≥b^b c^d>c^c d^a=d^a
单看分子 b^a<b^b(understand?) c^b<c^c d^c<d^d a^d=a^d
（注意：上面都是≥或≤，我省略了等号，不好打出来）
由于分子都大于零 取它们的倒数就该是≥
所以 原式≥≥[a^a*b^b*c^c*d^d]/[b^b*c^c*d^d*a^d]=a^(a/d)
还不懂吗？问问老师去吧

追问

不会吧……
竟是这么简单……
这可是联赛二试压轴大题啊……
无语……

追答

好像有点问题 我回去想了一下 上面解答不严谨