Question

同济第六版高数 99页 那个法向量方向余弦 为什么 X Y 的 都有个符号 COSa=-fx/√1+fx^2+fy^2?

打错了 是都有个负号 还有是下册的

Answer 1

曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为 n = { ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z}

特别的,若曲面方程能表示成 F(x,y,z)=z-f(x,y)=0
那么法向量可以为 n = ±{ -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1},+表示法向量向上,-表示法向量向下
单位化之后就是 n。= ±(1/|n|){ -∂f/∂x, -∂f/∂y, 1} , 其中|n|= [1+(∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²]^(1/2)

至于为什么有负号
∂F/∂x=∂[z-f(x,y)]/∂x=∂z/∂x-∂f(x,y)/∂x=-∂f/∂x
这里注意这里在求∂F/∂x时要将y,z都看成常数,于是∂z/∂x=0

Answer 2

z=f(x,y)曲面上每一点的法向量可以为（fx,fy,-1) 所以它的单位法向量是（fx/它的模，fy/它的模，-1/它的模）在99页取的是Z轴正方向，所以第三个坐标应该取1，然后就有相应的-Fx/它的模 就跟你说的一样

Answer 3

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。