Question

f(x)=∫[ t^2*(1+t^3)^1/3]dt 上限x^2 下限0 则f '(x)=?

Answer 1

用莱布尼茨公式
设函数t²*(1+t³)^1/3的原函数是F(t)，有F‘(t)=t²*(1+t³)^1/3
那么f(x)=∫(0到x²)[ t²*(1+t³)^1/3]dt =F(x²)-F(0)
对其求导就是，(其中F(0)是常数，求导为0，F(x²)是复合函数)
f‘(x)=F’(x²)*2x=x^4(1+x^6)^(1/3)*(2x)=2x^5(1+x^6)^(1/3)

Answer 2

请采纳

Answer 3

令x²=u
f'(x)={∫[ t^2*(1+t^3)^1/3]dt 上限u下限0}u'
=[u²(1+u³)^1/3](2x)
=2x^5(1+x^6)1/3

追问

为什么乘以2x,而不乘以(u^3)'

追答

设u=x²
那么u'就是2x啊

追问

为什么要乘以u'?

追答

设u=x²的话
f(x)就视为∫[ t^2*(1+t^3)^1/3]dt 上限u下限0与u=x²的复合函数
求导的话，就是∫[ t^2*(1+t^3)^1/3]dt 上限u下限0的导数乘以u的导数

Answer 4

f(x)=∫[ t^2*(1+t^3)^1/3]dt
=1/3∫(1+t^3)^1/3dt^3
=x^8/2
f '(x)=2x^7