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请问这个特征方程怎么来的？
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请问这个特征方程是怎么来的？
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这是解二阶常系数线性微分方程的固定方法。
请去看你的教科书，微分方程一章，高阶线性微分方程一节。
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解：依题意有方程：y'=2∫<0,x>ydx+y；
两边取导数得：y''=2y+y'；即有微分方程：y''-y'-2y=0；
其特征方程 r²-r-2=(r+1)(r-2)=0的根r₁=-1；r₂=2；
故其通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(2x)；
曲线过(0，1)；故得 c₁+c₂=1...........①
将通解两边对x取导数：y'=-c₁e^(-x)+2c₂e^(2x) ；
曲线过(0，1)处的切线的斜率y'(0)=2×0+1=1=-c₁+2c₂..........②
①+②得：3c₂=2；∴c₂=2/3； c₁=1-c₂=1-2/3=1/3；
∴曲线方程为：y=(1/3)e^(-x)+(2/3)e^(2x)；
两边取导数得：y''=2y+y'；即有微分方程：y''-y'-2y=0；
其特征方程 r²-r-2=(r+1)(r-2)=0的根r₁=-1；r₂=2；
故其通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(2x)；
曲线过(0，1)；故得 c₁+c₂=1...........①
将通解两边对x取导数：y'=-c₁e^(-x)+2c₂e^(2x) ；
曲线过(0，1)处的切线的斜率y'(0)=2×0+1=1=-c₁+2c₂..........②
①+②得：3c₂=2；∴c₂=2/3； c₁=1-c₂=1-2/3=1/3；
∴曲线方程为：y=(1/3)e^(-x)+(2/3)e^(2x)；
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