Question

已知a,b∈R+,n∈N,求证：（a+b)(a^n+b^n)≤ 2(a^(n+1)+b^(n+1)).

各位大虾好好看就看懂了～

Answer 1

首先,要得到这个不等式 (a^n-b^n)(a-b)>=0 恒成立(不论,a>b,a=b,a<b显然该不等式都成立),展开该不等式就有ab^n+ba^n≤a^(n+1)+b^(n+1)

那么：（a+b)(a^n+b^n)= a^(n+1)+b^(n+1)+ab^n+ba^n≤2(a^(n+1)+b^
(n+1)).

完成!

Answer 2

证明:
（a+b)(a^n+b^n)=a^(n+1)+b^(n+1)+ab^n+ba^n

(ab^n+ba^n)-[a^(n+1)+b^(n+1)]
=a^n(b-a)+b^n(a-b)
=(a^n-b^n)(b-a)
a,b∈R+,n∈N

(1),a>b>0时,
那么a^n>b^n
所以a^n-b^n>0;
b-a<0
所以(a^n-b^n)(b-a)<0

(2),b>a>0时,
那么b^n>a^n
所以a^n-b^n<0
b-a>0
所以(a^n-b^n)(b-a)<0

(3).a=b>0时,
(a^n-b^n)(b-a)=0

综合(1)(2)(3)
所以(a^n-b^n)(b-a)≤0

即(ab^n+ba^n)-[a^(n+1)+b^(n+1)]≤0

所以(ab^n+ba^n)≤[a^(n+1)+b^(n+1)]

那么(ab^n+ba^n)+[a^(n+1)+b^(n+1)]≤2[a^(n+1)+b^(n+1)]

就是（a+b)(a^n+b^n)≤ 2(a^(n+1)+b^(n+1)).