Question

高一数学！！急！超急~~~~~~~~~~

直线l：3x-y-1=0，在l上求一点P，使得．
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差的绝对值最大；
（2）P到A（4，1），C（3，4）的距离之和最小．

解：在直线L：3X-Y-1=0上求一点P，使得
（1） P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大
显然A、B位于直线L两侧
【【作B关于直线L的对称点B'，连接B'A，则B'A 所在直线与直线L交点即为P】】这一步是为什么？？
此时，|PA-PB|的差值最大，最大值就是B'A
设B点关于L对称点B’（a．b）（b-4）*3=-（a-0），
3a-（b+4）-2=0得a=3，b=3
AB的直线方程为2X+3Y-9=0解方程2X+Y-9=0
3X-Y-1=0即（2、5）是距离之差最大的点．

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小
显然，A、B位于直线L同侧
【【【【作点A关于直线L对称点A'，连接A'B，则A'B与直线L的交点就是点P】】】这一步是为什么？
此时，PA+PB之和最小，最小值为A'B
设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为（3/5,24/5 ）．
∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0．
AC′和l交点的坐标为Q（11/7,26/7 ）．
∴点Q的坐标为（11/7,26/7 ）．

请高手们解释为什么（1）如果两点在一直线的异侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点，即为所求的P点；
（2）如果两点在一直线的同侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，
那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点，即为所求的P点．

即也就是，【【【。。】】】中的内容。请解释清楚！！

Answer 1

你画另外一个P对照一下知道了，基本原理就是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
比如(1)中作B关于直线L的对称点B'，因为B‘和B关于直线对称，那么在直线上任意一点P，都有PB=PB’，然后问题就转化为在直线上找一点P，使得|PA-PB‘|最小，当P，A，B'三个点不在一条直线上的时候，它们三个点可以构成一个三角形，必有|PA-PB‘|<AB'，在一条直线上的时候会等于AB'，当然也就是这个时候取得最大值了
(2)中的原理一样，不过现在是三角形两边之和大于第三边了，作点A关于直线L对称点A'，对于直线上的点P恒有PA=PA’，同理问题就转化为在直线上找一点P，使得PA‘+PB最小，当P，A‘，B三个点不在一条直线上的时候，它们三个点可以构成一个三角形，必有PA’+PB>A‘B，在一条直线上的时候会等于A’B，当然也就是这个时候取得最小值了。
自己画个图像，多琢磨琢磨啊

Answer 2

(1)作B关于直线L的对称点B'，连接B'A，则B'A 所在直线与直线L交点即为P
这是因为此时P点与点A，B不成三角形
因为如果三角形，则两边之差小于第三边
当不成三角形时，两边之差等于第三边，达到最大

（2）两点之间线段最短
对称就是边相等