Question

如图,抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,-3a).

如图，抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M.

（1）求抛物线对应的函数关系式.

（2）经过C，M两点作直线，与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B,D重合），经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由.

(4) 当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立

Answer 1

1，y=ax^2+bx-3=a(x+2b/a)^2-(b^2/4a+3),对称轴x=1，即-2b/a=1-----①
又把点（2，-3a）代入抛物线方程，即得7a+3b=3----②
由①②方程得a=1，b=-2
所以y=x^2-2x-3--------③
2，点A（-1,0），M（1，-4），B（3,0），C（0，-3）
过CM作直线，设y=-kx+d 代入C,M得直线CM方程 y=-x-3-------④ 则点N（-3，0）
过点A作平行于CM的直线l，即y=-x+e，代入A点得e=-1，则直线l方程 y-x-1-----⑤
设抛物线上存在点p，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形，
则由③⑤得p（2，-3）
则lCNl=lAPl 根据平行四边形原理，故在抛物线上存在这样的点P（2，-3），使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形。
3.直接BD的方程 y=-x+3

Answer 2

1，y=ax^2+bx-3=a(x+2b/a)^2-(b^2/4a+3),对称轴x=1，即-2b/a=1-----①
又把点（2，-3a）代入抛物线方程，即得7a+3b=3----②
由①②方程得a=1，b=-2
所以y=x^2-2x-3--------③
2，点A（-1,0），M（1，-4），B（3,0），C（0，-3）
过CM作直线，设y=-kx+d 代入C,M得直线CM方程 y=-x-3-------④ 则点N（-3，0）
过点A作平行于CM的直线l，即y=-x+e，代入A点得e=-1，则直线l方程 y=x-1-----⑤
设抛物线上存在点p，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形，
则由③⑤得p（2，-3）
则lCNl=lAPl 根据平行四边形原理，故在抛物线上存在这样的点P（2，-3），使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形。
3.直接BD的方程 y=-x+3

Answer 3

（1）把点代入函数得到a=1，b=-2；所以函数是y=x2-2x-3
（2）以A，C，N点做平行四边形得到第四个点P坐标分别是（2，-3）；（-2，-3）；（-4，3）如果图上A，B换个位置还有P点坐标是（6，-3）；（-6，-3）；（0，3）代入函数检验，有P点存在，坐标是A在左有点P（2，-3）
（3）圆心始终在函数对称轴上而BD和BC正好是x轴对称。所以始终有AE=AF。三角形AEF是等腰三角形。

Answer 4

晕