Question

已知三棱锥P-ABC中，O为正三角形ABC的中心，且PA=PB=PC；PO=h，点D是PC中点，PO与BD所成角的余弦值为

根号2/3. 1、求证：PO⊥平面ABC；
2、 求三棱锥的体积。 （急求）

Answer 1

证明：（1）取AB中点F，BC中点K
连接OF,OK
正三角形ABC，O为中心
则OF⊥AB，PA=PB，有PF⊥AB
所以AB⊥平面POF
AB⊥PO
同理BC⊥PO
所以PO⊥平面ABC
（2）过点D作DG⊥CF，可以知道DG⊥平面ABC
角BDG即PO和BD所成的角
O为三角形ABC中心
OF=1/3CF
D为PC中点，那么G为OC中点
有OF=OG=CG=1/3CF
设三角形ABC边长为a
DG=1/2PO=1/2h
DB=DG/cos∠BDG=3√2/4h
在直角三角形BDG中，勾股定理求得
BG²=BD²-DG²=7h²/8
BF=1/2a，FG=√3/3a，这里CF=√3/2a
勾股定理求出FG²+BF²=BG²
a²=3/2h²
S三角形ABC=√3/4a²=3√3/8h²
V=1/3SH=1/3×3√3/8h²×h=√3/8h³
参考