Question

一道考研数学求极限的题目

这样一道题目。在第三行的时候，不可以用等价无穷小替换
为什么拆开后就可以，我记得辅导班的老师又讲过，这样做是不对的呀、

还有一个问题，就是等价无穷小在什么情况下可以在加减的时候替换。。。麻烦各位了。。

Answer 1

1. 如果各项的极限都存在，故可以拆成各项之和（或差）；
2. 等价无穷小在什么情况下可以在加减的时候替换：原则是
若分子的各项是分母的低阶无穷小， 不能替换，因为你舍掉的（高阶无穷小）可能恰恰是分母的同阶无穷小，造成错误。例如：Lim[ (sinx-x) / x^3, x->0 ] , Lim[ (sinx- tanx) / x^3, x->0 ]
Lim[ (e^x - 1 - x ) / x^2, x->0 ], Lim[ (e^x - 1 - x - x^2 /2) / x^3, x->0 ]

若分子的各项是分母的同阶或高阶无穷小，可以替换 （符合1）。

Answer 2

因为拆开彼此极限都存在，所以能拆
一开始不是乘除关系，所以不能等价
加减是不能的，别找那些特例，记住会害了你的
每做一步洛必达，检查化简下，在下一步洛必达

Answer 3

楼上的第一句解释是对的，后面就有些武断了。
既不要去随意否定加减法中的等价量替换，也不要死抱着L'Hospital法则，掌握原理更重要。

关于等价无穷小如何替换的问题，可以去看
http://zhidao.baidu.com/question/122716796.html
看最底下我给的回答。