Question

y〃 2y′-6y=e⁻³ˣ,y(0)=1,y′(0)=1

Answer 1

y''+2y′-6y = e⁻³ˣ, 特征方程 r^2+2r-6 = 0, r = -1±√7
设特解 y = ke^(-3x), 代入微分方程得 9k-6k-6k = 1, k =-1/3
微分方程通解 y = Ae^(-1+√7)x + Be^(-1-√7)x - (1/3)e^(-3x)
y(0) = 1, 得 A+B-1/3 = 1,
y' = A(-1+√7)e^(-1+√7)x + B(-1-√7)e^(-1-√7)x + e^(-3x)
y'(0) = 1, 得 A(-1+√7)+B(-1-√7)+1 = 1
即 A+B = 4/3， A(-1+√7) - B(1+√7) = 0
解得 A = (2/3)(1+1/√7), B = (2/3)(1-1/√7), 得特解
y = (2/3)(1+1/√7)e^(-1+√7)x + (2/3)(1-1/√7)e^(-1-√7)x - (1/3)e^(-3x)

Answer 2

如图所示：

用拉普拉斯变换更方便。