Question

在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N

1.证明：{an-n}是等比数列
2.写出数列，{an}的前五项及通项公式
3.用数学归纳法正面证明（2）中的通项公式对n∈N+都成立

Answer 1

1.
a(n+1)=4an-3n+1
a(n+1)-(n+1)=4an-4n
[a(n+1)-(n+1)]/(an-n)=4，为定值。
a1-1=2-1=1
数列{an-n}是以1为首项，4为公比的等比数列。
通项公式为an-n=4^(n-1)
2.
a1=2
a2=4×2-3×1+1=6
a3=4×6-3×2+1=19
a4=4×19-3×3+1=68
a5=4×68-3×4+1=261
通项公式an=4^(n-1)+n
3.
n=1时，a1=4^(1-1)+1=2，满足已知条件，通项公式成立。
假设当n=k(k≥1且k∈Z)时，通项公式均成立，即
ak=4^(k-1)+k
则当n=k+1时，
a(k+1)=4ak+4k-3k+1
=4^k+k+1
通项公式同样成立。
综上，得数列通项公式an=4^(k-1)+k恒成立。