Question

高中数学题 ，帮忙啦！

已知 f(x)=mx-m/x , g(x)=2lnx
(1)当m=2时，求在点（1，f(1)）处的切线方程
(2)当m=1时，证明f(x)=g(x) 有且只有一个实数根
(3)当x∈(1，e] 时，f(x)-g(x)＜2恒成立，求m的范围

Answer 1

解：（1）当m=2时，f（1）=0，f（x）=2x-2/x在点（1，0）处的切线。
对f `（x）导数=2+2/x²，所以在点（1，0）处切线的斜率k=4，
所以切线方程为y=4x-4

（2）当m=1时，f（x）=x-1/x，假设f（x）=g（x），并且x≠0，
设P（x）=f（x）-g（x），且x＞0，则p（x）=x-1/x-2·lnx
则P`（x）导数=1/x（x+1/x-2），当x≥1时，P`（x）≥0，单调递增；
当0＜x＜1时，P`（x）＜0，单调递减；
所以P（x）最小值为x=1时，p（1）=0，所以p（x）≥0，且仅有当x=1时p（x）=0，所以当m=1时，f（x）=g（x）有且仅有一个实数根为x=1

（3）设G（x）=f(x)-g(x)-2=m·x-m/x-2·lnx-2，即当x∈(1，e] 时，G（x）＜0
（下面介绍一种“反客为主”解题思维）
设R（m）=（x-1/x）m--2·lnx-2 （一元一次函数）
则R`（m）=x-1/x，因为x∈(1，e] ，所以R`（m）＞0，为递增，
R（m）=0时，则m=（2·lnx+2）/（x-1/x）
则m`= -(4+6x²lnx+2lnx)/(x²-1)，当x∈[1，e]时，m`＞0，单调递增，
所以x=1时m最小值=1
所以m的取值范围是 m＜1
完毕！！
主人一定要采纳为答案哦，我很确定我的解题没问题，谢谢了！看我这么辛苦的打字~~唉

Answer 2

头两问应该不是压轴的 第三个比较难 我写出来你参考一下
3 f(x)=mx-m/x-2lnx. 若对于x属于【1，e】，均有f(x)＜2成立
　等价于　m＜(2x+2xlnx)/(x²-1)当x属于【1，e】时恒成立，
　令　g(x)=(2x+2xlnx)/(x²-1)
　由　g'(x)=-(4+6x²lnx+2lnx)/(x²-1)，可知，当x∈[1，e]时，g'(x)<0
故函数　g(x)为[1，e]上的单调递减函数，其最小值为
　g(e)=2e+2elne/e^2-1，所以m的取值范围是
　m＜4e/e^2-1

Answer 3

解：（1）f(x)=2x-2/x,求导得f'(x)=2+2/x^2,
∴切线的斜率为k=4
而f(1)=0
∴切线方程为y=4（x-1）
（2）构造函数g（x）=x-1/x-2lnx
求导得g'(x)=(1/x-1)^2≥0，
∴g（x）为增函数。且x=0时，y=0
∴命题得证
（3）问题转化为m＜（2lnx+2）x/（x^2+1）
设F(x)=（2lnx+2）x/（x^2+1）＞m在【1，e】恒成立，只要求F（x）的最小值即可。
求导得F'(x)=2×（-x^2 lnx+lnx+2）/(x^2+1)^2＞0
∴F（x）为增函数
∴x=1时，最小值为1
∴m＜1

Answer 4

正解：（1）y=4x-4
（3）m<4e/(e^2-1)

(1) m=2, f(x)=2(x-1/x)
f'(x)=2(1+1/x^2)
∴ f'(1)=4, f(1)=0
因此，切线方程为y=4x-4
(2) m=1, F(x)=f(x)-g(x)=x-1/x-2lnx
F'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2>=0
∴F(x)在x<1和x>1区间内为增函数
而x=1时，F(x)=0
∴ x<1时，F(x)<0; x>1时，F(x)>0
因此，f(x)=g(x)只有一个实数根，即x=1
(3) f'(x)=m(1+1/x^2), g'(x)=2/x
i) 当m<0，x∈(1，e]
f'(x)<0, g'(x)>0, f(x)<g(x)
因此，必然满足f(x)-g(x)<2；
ii) 当m>0, x∈(1，e]
f'(x)>0, g'(x)>0
而x=1时，f(x)=g(x)=0
又x=e时，g(x)=2
因此，只要保证x=e时，f(x)-g(x)=m(e-1/e)-2<2，即可满足x∈(1，e]内f(x)-g(x)<2
解得0<m<4e/(e^2-1)
综合i,ii, 得到m<4e/(e^2-1)