Question

函数y=(3-sinx)/(3+sinx)的值域为

Answer 1

y=（-3-sinx+3+3）/（3+sinx）=-1+6/（3+sinx）
-1<=sinx<=1
2<=3+sinx<=4
3/2<=6/（3+sinx）<=3
1/2<=1+6/（3+sinx）<=2
所以值域（1/2,2）

追问

3/2<=6/（3+sinx）<=3怎么来的

追答

2<=3+sinx<=4
1/4<=1/(3+sinx)<=1/2
6/4<=6/(3+sinx)<=6/2

Answer 2

解：令t=sinx，则-1<=t<=1,y=(3-t)/(3+t)=6/（3+t)]-1.
求导可得y'=-1-[6/(3+t）*(3+t)]<0.
所以y=6/（3+t)]-1是[-1,1]上的减函数。
t=-1时y取得最大值2；t=1是y取得最小值1/2。
附：若将t的范围扩大到整个R上，则
将y=(3-t)/(3+t)变形可得（y+1)*t=3*(1-y),
若y=-1,显然代入可知0*t=3*2不成立，
即y=(3-t)/(3+t)在整个R上是不连贯的，
其实这从y=6/（3+t)]-1就可以看出来，
对于本题并无太大关联，无单独需提出来。

Answer 3

一：y=-1，0=9不成立
二： y不等于-1
等式两边同时乘以(3+sinx)y(3+sinx)=3-sinx
(y+1)sinx=3-3y
sinx=(3-3y)/(y+1) sinx大于等于-1 小于等于1
所以-1<=(3-3y)/(y+1)=<1
解两个不等式0.5<=y<=2

追问

你好 为什么假设Y等于或不等于-1

追答

这种解法中，第二种分类有一步等式两边同时除以(y+1)
也就是(y+1)sinx=3-3y 到 sinx=(3-3y)/(y+1)
所以讨论Y等于或不等于-1，不然除以0没意义

Answer 4

（1/2,2）