Question

级数收敛部分和数列极限一定存在，级数发散部分和数列极限一定不存在，这两个是充要条件吗？

Answer 1

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级数是否收敛是通过部分和数列的极限来定义的：

如果级数的部分和数列的极限存在，则称此级数收敛，并且该极限成为级数的和。否则称该级数发散。

既然是定义，就一定是充要条件。

即

级数收敛的充要条件是它的部分和数列有极限。

追问

那第4和第5题又是怎么回事？不是发散极限就不存在吗，为什么又有可能等于0，既然极限等于那不就收敛吗？为什么又有可能发散也有可能收敛，答案看的更是一头雾水

追答

你上面说的是级数的一般项，而原题讨论的是部分和数列，
前n项部分和，就是是数列的前n项加起来
这不是一个概念
一般项趋于0，是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。你追问的题目就是说嘛这个问题的。

追问

就是说级数的前n项和Sn(即Sn=a1+a2+a3+……+an)极限存在就收敛，不存在就发散，这是充要条件（就是可以相互推导证明的）；但是极数的第n项，(比如n=100，)a100的极限存在不存在就和整个级数是收敛还是发散就关系不大(或者说一般项趋于0是级数收敛的必要条件)。这个样子对不对？

追答

an的极限是0,是级数收敛的必要条件，
就是说an的极限是0，级数不一定收敛，但an的极限不是0级数一定发散。
你的理解有一些偏差。

Answer 2

级数是否收敛是通过部分和数列的极限来定义的：

如果级数的部分和数列的极限存在，则称此级数收敛，并且该极限成为级数的和。否则称该级数发散。

既然是定义，就一定是充要条件。

即

级数收敛的充要条件是它的部分和数列有极限。

追问

那第4和第5题又是怎么回事？不是发散极限就不存在吗，为什么又有可能等于0，既然极限等于那不就收敛吗？为什么又有可能发散也有可能收敛，答案看的更是一头雾水

Answer 3

级数收敛部分和数列极限一定存在急速发散部分和数列极限，一定不存在这两个是充要条件吗？并不是充要条件啊。

追问

哪是什么关系，是哪个能推出哪个？