Question

一道立体几何体 （高中）

在正方体A C1 中,O,O1分别是对角线BD和A1 D的中点,E,F分别为棱A1,B1的中点,则异面直线EF和OO1所成的角的大小？（过程！）

Answer 1

E,F分别为棱A1,B1的中点，你这里说的棱是指？ 是A1D1棱 和B1C1棱？

如果是这样，连接A1B。则三角型A1BD中OO1为中位线。OO1//A1B。

EF平行于 A1B1。 则所求角 就是 BA1B1 = 45°。

其实此题一画图 非常简单。主要用到中位线定理等。

追问

在正方体A C1 中,O,O1分别是对角线BD和A1 D的中点,E,F分别为棱A1B1和B1C1的中点,则异面直线EF和OO1所成的角的大小？（过程！）

追答

中位线定理，EF//=1/2A1C1, OO1//=1/2A1B.
因为是立方体。可知道各面对角线相等，在三角形ABC1中，A1B=A1C1=BC1,所以为等边三角形。
则A1B和A1C1所成的角为60°，
即EF和OO1所成的角为60°。

Answer 2

过O作OM平行AD交AB于M，连接EM、OE
因AD平行OM且O为BD中点，则OM=AD/2，M为AD中点
因O1为A1D中点，E为AA1中点，则A1E/AE=A1O1/O1D=1，A1E=A1A/2
则O1E平行AD,O1E/AD=A1E/A1A
则O1E=AD/2
因O1E平行AD平行OM，O1E=OM=AD/2
则EMOO1为平行四边形 (实为矩形)
则OO1平行EM
则角MEF为EF与OO1所成角的大小
因为是正方体
则AB=AA1且角BAA1=90度,AA1=BB1且AA1平行BB1
因M为AB中点，E为AE中点
则AM=AE
则角AEM=角AME=（180-90）/2=45度
因AA1=BB1，E为AA1中点，F为BB1中点，则AE=BF
因AA1平行BB1即AE平行BF，则ABEF为平行四边形（实为矩形)
则AB平行EF
则角MEF=角AME=45度
所以异面直线EF和OO1所成的角的大小为45度

Answer 3

棱A1,B1指什么？A1点出发有三条棱啊 ？
各点都是特殊点，建立直角坐标系，用空间向量做，表示出需要点坐标，求出向量EF和OO1，然后利用cosθ=向量a*向量b/(a模*b模) 解出θ，若是锐角则就是二线所成角，若是钝角，求其补角，得到二直线所成角。 （过程就不写了，立体几何重要的就是会思路）