已知a,b属于正实数，求证:a/√b+b/√a≥√a+√b
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移项得
a/√b + b/√a -√a-√b
= a/√b -√b + b/√a -√a
= （a-b）/√b + (b-a)/√a
= (a-b)*( 1/√b - 1/√a)
= (a-b)*( √a - √b) /（√ab）
>=0
a/√b + b/√a -√a-√b
= a/√b -√b + b/√a -√a
= （a-b）/√b + (b-a)/√a
= (a-b)*( 1/√b - 1/√a)
= (a-b)*( √a - √b) /（√ab）
>=0
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a,b为正实数，
∴a/√b+b/√a≥√a+√b
<==>a^(3/2)+b^(3/2)>=(ab)^(1/2)*(√a+√b),
两边约去√a+√b>0,得
a-(ab)^(1/2)+b>=(ab)^(1/2),
<==>(√a-√b)^2>=0,
上式显然成立，所以原式成立。
∴a/√b+b/√a≥√a+√b
<==>a^(3/2)+b^(3/2)>=(ab)^(1/2)*(√a+√b),
两边约去√a+√b>0,得
a-(ab)^(1/2)+b>=(ab)^(1/2),
<==>(√a-√b)^2>=0,
上式显然成立，所以原式成立。
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证 因为a∕√b＋b／√a－√a－√b
＝a／√b－√b＋b／√a－a
＝﹙a－b﹚／√b＋﹙b－a﹚／√a
＝﹙a－b ﹚[﹙1／√b﹚－﹙1／√a﹚]
＝﹙a－b﹚﹙√a－√b﹚／√﹙ab﹚
＝﹙√a－√b﹚²﹙√a＋√b﹚／√ab≧0
所以 a／√b＋b／√a≧√a＋√b
＝a／√b－√b＋b／√a－a
＝﹙a－b﹚／√b＋﹙b－a﹚／√a
＝﹙a－b ﹚[﹙1／√b﹚－﹙1／√a﹚]
＝﹙a－b﹚﹙√a－√b﹚／√﹙ab﹚
＝﹙√a－√b﹚²﹙√a＋√b﹚／√ab≧0
所以 a／√b＋b／√a≧√a＋√b
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把原式平方展开
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