Question

已知抛物线 y=mx2+（m-3）x-1 求证：1）抛物线与x轴总有两个交点 (2） 若抛物线与x轴交与A，B两点，且A，B

1）抛物线与x轴总有两个交点 (2） 若抛物线与x轴交与A，B两点，且A，B两点的距离为1，求这个二次函数的解析式

Answer 1

(1)
对于一元二次方程mx²+(m-3)x-1=0
判别式Δ=(m-3)²-4m(-1)=m²-2m+9=(m-1)²+8恒>0
判别式>0，方程有两个不相等的实根，抛物线与x轴恒有两个交点。
题目没写完，等你补充完整，再追问我，我再给予解答。

追问

1）求证：抛物线与x轴总有两个交点 (2） 若抛物线与x轴交与A，B两点，且A，B两点的距离为1，求这个二次函数的解析式

追答

(2)
设A、B两点坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0)
x1，x2是方程mx²+(m-3)x-1=0的两根。
由韦达定理得
x1+x2=(3-m)/m
x1x2=-1/m
(x1-x2)²=(x1+x2)²-2x1x2
=(m-3)²/m²+2/m
=(m²-4m+9)/m²
AB=|x1-x2|=√[(m²-4m+9)/m²]=1
(m²-4m+9)/m²=1
m²-4m+9=m²
4m=9
m=9/4
代入二次函数解析式：y=9x²/4+(9/4-3)x-1=9x²/4-3x/4-1
二次函数解析式为y=9x²/4-3x/4-1

追问

什么是
韦达定理

追答

韦达定理：
若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两实根，则有
x1+x2=-b/a x1x2=c/a

Answer 2

求证：1）抛物线与x轴总有两个交点
证明：抛物线与x轴总有两个交点就是说 mx2+（m-3）x-1 =0有两个实数根，于是有：
△>0
即：(m-3)^2+4m
=m^2-6m+9+4m
=(m+1)^2+8
(m+1)^2≥0 所以 m为任意数时都有 (m+1)^2+8>0
所以 ：抛物线与x轴总有两个交点

Answer 3

1）令y=mx2+（m-3）x-1 =0
设（m-3）^2+4M>0 可化简为(M-1)^2+8>0 可证明假设成立

Answer 4

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