Question

已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合），过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC

于点E,过点E作EF垂直于AC,垂足为点F
一。(1)求证：PB等于PE
(2),在点P的运动过程中，PF的长度是否发生改变？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由。
二。当点E落在线段DC的延长线上时，请在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述 一 中的结论是否仍然成立
三。在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能试求出AP
TU

Answer 1

一、证明：∵∠BPE=∠BCE=Rt∠，∴四边形BPCE内接于圆，

∴∠BEP=∠BCP=45°，∴∠EBP=45°，∴PB=PE；

连结BD交AC于点O，∵∠OBP+∠OPB=Rt∠，∠FPE+∠OPB=Rt∠，∴∠OBP=∠FPE，

在Rt△BOP和Rt△PFE中，∵∠BOP=∠PFE、∠OBP=∠FPE、PB=EP，

∴Rt△BOP≌Rt△PFE中，∴BO=PF，即在P的运动过程中，PF恒等于BO；

二、当E在DC延长线上时，一、中结论仍成立；

三、设△PEC中，CP=CE，∴∠CPE=∠CEP，

∵已证∠CPE=∠OBP，∠OBP+45°=∠ABP，

∵已证四边形BECP内接于圆，∠CEP+45°=∠CEB=∠APB，∴∠ABP=∠APB，AB=AP，

即当AP=AB时，△PEC中为等腰三角形，解毕。

Answer 2

作PM⊥BC，PN⊥CD,
正方形PMCN ，
PN=PM ,
∵∠BPE=90°，
∴∠BPM+∠MPE=90°，
∵∠MPE+∠EPN=90°,
∴∠BPM=∠EPN,
∵PM⊥BC,PN⊥CD,
∴∠PMB=∠PNE=90°
△PBM≌△PEN，
PB等于PE
(2),在点P的运动过程中，PF的长度不会发生改变,
因为当P点趋向于A和c点时，很明显PF=1/2AC；因为当P点在AC的中点时F点与C点重合，P点在AC上运动时，PF的长度随着均匀改变。故得证。
二。当点E落在线段DC的延长线上时，可以判断上述 （一） 中的结论仍然成立，证明方法一样。
三。在点P的运动过程中，△PEC可以为等腰三角形
求出AP：吃完饭再来吧，，，

Answer 3

一、证明：∵∠BPE=∠BCE=Rt∠，∴四边形BPCE内接于圆，
∴∠BEP=∠BCP=45°，∴∠EBP=45°，∴PB=PE；
连结BD交AC于点O，∵∠OBP+∠OPB=Rt∠，∠FPE+∠OPB=Rt∠，∴∠OBP=∠FPE，
在Rt△BOP和Rt△PFE中，∵∠BOP=∠PFE、∠OBP=∠FPE、PB=EP，
∴Rt△BOP≌Rt△PFE中，∴BO=PF，即在P的运动过程中，PF恒等于BO；
二、当E在DC延长线上时，一、中结论仍成立；
三、设△PEC中，CP=CE，∴∠CPE=∠CEP，
∵已证∠CPE=∠OBP，∠OBP+45°=∠ABP，
∵已证四边形BECP内接于圆，∠CEP+45°=∠CEB=∠APB，∴∠ABP=∠APB，AB=AP，
即当AP=AB时，△PEC中为等腰三角形