Question

在等差数列{an}中,已知a1=1,前n项和Sn满足条件S2n/Sn=4,n=1，2，…

（1）求数列{an}的通项公式及Sn
（2）记bn=an×2^(n-1），求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

解：1) 设等差为d，则an=1+(n-1)d,
Sn=(a1+an)n/2=n[2+(n-1)d]/2,
S2n=n[2+(2n-1)d],
则n[2+(2n-1)d]=4n[2+(n-1)d]/2，
解得d=2，则an=1+2(n-1)=2n-1,
Sn=n^2

2) bn=an×2^(n-1)=(2n-1)×2^(n-1)=n×2^n-2^(n-1)
设cn=n×2^n，前n项和为Pn；dn=2^(n-1)，前n项和为Qn，则Tn=Pn-Qn;
Qn=2^n-1,
Pn=2^1+2×2^2+3×2^3+……+n×2^n,
2Pn= 2^2+2×2^3+……+(n-1)×2^n+n×2^(n+1),
则Pn=-(2^1+2^2……+2^n)+n×2^(n+1)=n×2^(n+1)-2^(n+1)+2=(n-1)×2^(n+1)+2,
则Tn=Pn-Qn=(n-1)×2^(n+1)+2-2^n+1