Question

一道高中数学题：已知函数f(x)=|x|-3，关于x的方程f^2(x)-4|f(x)|+k=0恰有8个不同的实根，实数k的取值范围

答案是（3，4），请解析一下

Answer 1

思路：将 f^2(x)-4|f(x)|+k 化简为两个相对熟知的函数 t=|x|-3  和 t^2-4|t|+k ，然后讨论 方程t^2-4|t|+k=0 的根的情况。

f^2(x)-4|f(x)|+k=0 最多有8个不同根， f(x)=|x|-3 当f(x)在值域中取值时有可能存在1个或2个根，仅当f(x)>-3时，x对应2个值。

由此得出，t=|x|-3 要使t取一个值时有2个x与之对应，必须有t>-3，而且t不同时必有2个不同的x与之对应

于是问题转化为讨论 方程t^2-4|t|+k=0 有4个不同的根的情况

解题：

设函数t=f(x)=|x|-3

所以 t>-3 时必有 2个x与t值相对应，并且t值不同，x对应的值也一定不同

t^2-4|t|+k 的函数图像，由图所示，2个开口向上的抛物线，以y轴对称，类似一个W型的曲线，定义域为 t>-3的一段。

要使其取4个不同的值，也就是与x轴有4个交点，

需要（1）对称轴x=2时的最小值小于0 （2）当t=-3时，函数值大于0即可

列出不等式

（1）2*2-4*2+k<0

（2）(-3)-4*(-3)>0

综合（1）（2）得出 

3<k<4

Answer 2

+结合图像，t=|f(x)|只能取（2,3），因此k=-t^2+4t则最大值为k(2)=4,最小值为k(3)=3,因此是（3,4）

Answer 3

设|f(x)|=t,则关于t的方程t^2-4t+K=0必须有两个不同的正根，判别式大于零且两根之和两根之积都大于零解得0<K<4,||x|--3|=t,|x|-3=+t,或|x|-3=-t，,|x|=3+t,或|x|=3-t，3+t>0且3-t>0,解得t>3，所以t的最后范围是（3,4）

Answer 4

解：整理即方程:x-a 1-ln(1 x)^2=0,在[0,2]上有两异根记h(x)h(0)=1-a

Answer 5

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