数学故事
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羊村丰富多彩的生活之故事连载
——一元一次方程的实际应用问题
浙江省嵊州市谷来镇中学 蒋小铭
（一）变声巧克力（上）
森林里宝鸭哥正在开个人演唱会，他的歌声真好听，全场都欢呼起来“宝鸭哥……宝鸭哥……宝鸭哥……”，有的还举起牌子“最爱宝鸭哥”．贝贝羊捧着花束听晕倒了，乐乐羊在干什么？她正在做白日梦呢，想着自己也有宝鸭哥的歌喉，歌迷们争着给她送礼物，大家举着牌子“乐乐羊我爱你”，她情不自禁地唱了起来，耳边马上传来“太难听了……”，有的扔来了狗屎，动物们都跑完了，急得乐乐羊大哭起来．她向村长求助，村长有三块变声巧克力，乐乐羊哭呀闹呀求村长给她变声巧克力，村长想了个法子，说：“要想得到变声巧克力，就得帮我做个题目．”为了得到变声巧克力，乐乐羊也只有搏一回．
村长说：“题目是这样的，我们羊村有一辆手拉车，那可是祖传的，已使用17次，预计每天使用3次．经过多少天这辆手拉车的使用次数达到规定的检修次数200次？至少要用两种方法解．”
乐乐羊用前爪夹着根树枝在沙地上比划：“如果设经过x天这辆手拉车的使用次数达到规定的检修次数，根据预计每天再使用3次，那么x天使用次，加上已使用的17次，等于200，可列出方程17+3x=200．”
村长摸摸下巴的胡子，点点头道：“还要一种解法，你能解不？解不出来就别想得到变声巧克力．”
“还要一种方法？有了，设法一样，方程是3x=200-17．”乐乐羊说道．
“这个不算．”
乐乐羊这下急死了，这一急就想上厕所来，苦着脸道：“村长，我要上厕所．”
村长皱皱眉头，心想：这个乐乐羊一定又甩什么赖皮了，随口说：“早去早回，别忘了你想要的变声巧克力．”
乐乐羊一溜烟儿跑了，边跑边想，我还是去找欢欢羊帮忙吧，羊村最聪明的要算她了．乐乐羊很快地找到了欢欢羊，欢欢羊告诉她用算术法解，并且给她做一遍，乐乐羊乐颠颠地向村长要变声巧克力去了．
（二）变声巧克力（下）
上回说到乐乐羊知道了第二种解法，向村长要巧克力，村长给了她两块巧克力，还留有一块自己用．村长告诉乐乐羊使用巧克力的方法：“你吃下一半之后，如果把另一半给别的动物吃下，你们的声音就能交换了．”乐乐羊听了高兴地说：“太好了！谢谢村长！”说着马上打开吃了一半，村长看了直冒汗．
乐乐羊急匆匆地朝演唱会现场跑去，大家正与宝鸭哥合影留念．宝鸭哥以为乐乐羊要和他合影，问道：“这位歌迷，你要合影吗？”乐乐羊气喘吁吁地说：“宝鸭哥先生，送你一块很好吃的巧克力．”忽然一个声音传来：“宝鸭哥，吃我的大巧克力吧．”兔子扛来一块大巧克力，随手把乐乐羊的小巧克力扔了，恰巧扔在青蛙哥的叉子上，青蛙哥正要吃，“死青蛙，我的巧克力！” 乐乐羊大声喊道，但没把青蛙哥给吓住，啊呜，一口吃了．这样乐乐羊的声音就变成青蛙哥的声音，而青蛙哥的声音变成了乐乐羊的声音，急得乐乐羊只会哭，不会说话了．乐乐羊哭着来找村长，村长不在，桌子上留着一张纸条，纸条上写着：要吃变声巧克力，先得解决下面的问题．
问题：新学期就要开始了，羊村学校教务主任想制订一个学习奖励方案，把28包青草按照两种奖项奖给22只羊，其中获得一等奖的每只羊4包青草，获得二等奖的每只羊1包青草．请问获得二等奖的羊有多少只？
这可怎么做呀？乐乐羊想，按理说两种奖项奖给22只羊，两种奖项共22项，如果设要求获得二等奖的有x只羊，那么获一等奖的羊有(22-x)只．所有获二等奖的羊共得到x包青草，所有获一等奖的羊共得到4(22-x)=88-4x包青草，两种奖项共28包青草．可列方程为
x+88-4x=28，
方程左边化简得88-3x=28，
方程两边都减去28，得88-3x-28=28-28，
方程两边化简得60-3x=0,
化简得60=3x
方程两边都除以3，得x=20
所以获得二等奖的羊有20只．
算到这里乐乐羊心想，就我现在的名次，离一等奖还差点，要是我考得比贝贝羊好就可得一等奖了．聪明的你，猜猜乐乐羊是全班第几名？
乐乐羊又一次拿到了变声巧克力，变声有望啦！
（三）肥羊有几只
一天6只狼仔跟着狼妈妈正在找食物．他们来到一个小山头，四处观察，发现草原上有好多羊．“好肥的羊啊！够咱们吃几辈子了……”狼妈妈不由自主地说出声来．狼妈妈想考一考哪只狼仔最聪明．狼妈妈观察后对狼仔们说：“这里的羊共有780只，分成A、B、C三群，A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，试问A羊群有几只羊？谁先算出，且算法最简便，妈妈就教他如何捉羊．你们可以合作完成．”狼妈妈想培养狼仔们团结合作精神呀，团结力量大呀．
这下忙坏了狼仔们，都争先恐后地开始动脑筋想办法来算出A羊群的羊的只数．其中甲、乙两只狼仔正合作着解这个题目，他们走到一边，一起商量解法．狼仔甲说：“如果设A羊群有x只羊，那么根据A羊群羊的只数是B羊群的2倍，可得B羊群有只羊．根据C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，可得C羊群有5x只羊．”狼仔乙眼睛一闪，忽然有了主意，说：“这样根据三群羊的总只数是780只，可得方程．我们一起来解这个方程．”于是，他们把方程左边合并同类项得，6.5x=780．方程两边都除以6.5得x=120．他们俩高高兴兴地去向妈妈汇报了．
甲、乙两只儿狼仔商量的同时，另一边也有两只狼姐妹一起解着呢．看看她们又是怎么解的吧．姐姐认为：设B羊群有x只羊，根据A羊群羊的只数是B羊群的2倍，有A羊群的只数是2x．再根据C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，可得C羊群的羊的只数是10x，可列出方程为2x+x+10x=780．妹妹接着解姐姐列出的方程，左边合并同类项得13x=780，方程两边都除以13得x=60．因此，A羊群羊的只数是120．
剩下的两只狼仔也团结起来，他们的算法与前面的两种都不同．他们是这么想的：既然A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，就有C羊群羊的只数是B羊群的10倍，A与C两群羊的只数一共相当于B羊群的12倍，三群羊共相当于B羊群的13倍，780除以13等于60，得到B羊群的羊的只数是60，所以A羊群的羊的只数是120．
聪明的你，假如你来当狼妈妈，你来评一评，哪两只狼仔的算法最简便．
（四）羊毛织成羊毛衫
夏天到了，天气慢慢热起来，稍稍运动一下，羊仔便满身是汗．羊妈妈为羊仔剪起了羊毛，然后把羊毛送到加工厂做成羊毛衫．而实际上“羊毛衫”现在已成为一类产品的代名词，即用来泛指“针织毛衫”或称“毛针织品”．毛针织品指主要是用是以羊毛、羊绒、兔毛等动物毛纤维为主要原料纺成纱线后织成的织物，诸如兔毛衫、雪兰毛衫、羊仔毛衫等．如果一件羊毛衫标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件羊毛衫的进价是多少元？
聪明的灵灵羊开始想：利润问题的主要数量关系是“利润＝售价－进价”，因此只需理解题目中数量是对应的哪个量，结合9折的含义是原价的90%，代入数量关系式进行计算即可．于是她写下如下解法：
解：设这件羊毛衫的进价为x元，
由题可得
132╳90%- x =10% x ,
解得x =108.
答：这件羊毛衫的进价为元．
若熊爸爸想赚得2件羊毛衫的成本，至少需要在原价基础上卖多少件羊毛衫？请你来算一算．
参考答案：9件．
（五）开渠泄水 确保健康
梅雨季节，草原由于过于潮湿，草开始烂根，这可是羊村的命根呀．自从进入梅雨季节后，草原的草一直是湿漉漉的，羊仔们吃了湿草会拉肚子进而脱水生病．这可急死了羊村村长，想改善羊村的生活条件，准备给羊村修建地下渠道．初步计划挖掘一条长650米的地下渠道，羊村村长请甲、乙两地鼠兄弟完成．甲，乙两只地鼠从两头相向施工．甲地鼠每天挖掘48米，乙地鼠每天比甲地鼠多挖掘22米，而乙地鼠比甲地鼠晚开工1天．问：乙地鼠挖了多少天，两只地鼠完成挖掘任务的80%？羊村村长请羊村的总务主任算一算，以便给工钱．
总务主任想，如果设乙地鼠挖了天，乙地鼠每天比甲地鼠多挖掘22米，则他每天挖70米，经x天，乙地鼠共挖了米．甲地鼠每天挖掘48米，由于他早开工一天，实际挖了(x+1)天，共挖了48(x+1)．兄弟俩共挖了650米，根据总量等于部分和可列方程．
解：设乙地鼠挖了x天，两只地鼠完成挖掘任务的80%，则甲地鼠开工(x+1)天．
由题可得48(x+1)+(48+22) x=650╳80%，
解得118x=472，
x=4．
答：设乙地鼠开工天，两只地鼠完成挖掘任务的80%．
最终两只地鼠如期完工，羊村的草原又恢复正常，羊村为此举行了渠道竣工晚会．
（六）不足与盈余
正遇上羊村收获季节，羊村收割了草以备过冬用．羊仔们去领草，如果每只羊仔得到6捆草，那么有11捆草多余；如果每只羊仔要得到9捆草，那么还需要16捆草．求有多少只羊仔去取草？一共有多少捆草？
《九章算术》有这样的记载：
“置所出率，盈、不足各居其下．令维乘所出率，并以为实．并盈、不足为法．实如法而一．有分者，通之．盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余以约法、实．实为物价，法为人数．”
把这段话列算式表如下：
现在用列一元一次方程组解，解法如下：
题中包含两个等量关系，草的总捆数＝羊仔数×6+11，草的总捆数＝羊仔数×9－16，利用这两个等量关系，可列出方程，解这个方程即可．
解：设羊仔数为x．
则可列方程6x+11=9x-16，
解方程得x=9，
所以一共有6╳9+11=65捆草
——一元一次方程的实际应用问题
浙江省嵊州市谷来镇中学 蒋小铭
（一）变声巧克力（上）
森林里宝鸭哥正在开个人演唱会，他的歌声真好听，全场都欢呼起来“宝鸭哥……宝鸭哥……宝鸭哥……”，有的还举起牌子“最爱宝鸭哥”．贝贝羊捧着花束听晕倒了，乐乐羊在干什么？她正在做白日梦呢，想着自己也有宝鸭哥的歌喉，歌迷们争着给她送礼物，大家举着牌子“乐乐羊我爱你”，她情不自禁地唱了起来，耳边马上传来“太难听了……”，有的扔来了狗屎，动物们都跑完了，急得乐乐羊大哭起来．她向村长求助，村长有三块变声巧克力，乐乐羊哭呀闹呀求村长给她变声巧克力，村长想了个法子，说：“要想得到变声巧克力，就得帮我做个题目．”为了得到变声巧克力，乐乐羊也只有搏一回．
村长说：“题目是这样的，我们羊村有一辆手拉车，那可是祖传的，已使用17次，预计每天使用3次．经过多少天这辆手拉车的使用次数达到规定的检修次数200次？至少要用两种方法解．”
乐乐羊用前爪夹着根树枝在沙地上比划：“如果设经过x天这辆手拉车的使用次数达到规定的检修次数，根据预计每天再使用3次，那么x天使用次，加上已使用的17次，等于200，可列出方程17+3x=200．”
村长摸摸下巴的胡子，点点头道：“还要一种解法，你能解不？解不出来就别想得到变声巧克力．”
“还要一种方法？有了，设法一样，方程是3x=200-17．”乐乐羊说道．
“这个不算．”
乐乐羊这下急死了，这一急就想上厕所来，苦着脸道：“村长，我要上厕所．”
村长皱皱眉头，心想：这个乐乐羊一定又甩什么赖皮了，随口说：“早去早回，别忘了你想要的变声巧克力．”
乐乐羊一溜烟儿跑了，边跑边想，我还是去找欢欢羊帮忙吧，羊村最聪明的要算她了．乐乐羊很快地找到了欢欢羊，欢欢羊告诉她用算术法解，并且给她做一遍，乐乐羊乐颠颠地向村长要变声巧克力去了．
（二）变声巧克力（下）
上回说到乐乐羊知道了第二种解法，向村长要巧克力，村长给了她两块巧克力，还留有一块自己用．村长告诉乐乐羊使用巧克力的方法：“你吃下一半之后，如果把另一半给别的动物吃下，你们的声音就能交换了．”乐乐羊听了高兴地说：“太好了！谢谢村长！”说着马上打开吃了一半，村长看了直冒汗．
乐乐羊急匆匆地朝演唱会现场跑去，大家正与宝鸭哥合影留念．宝鸭哥以为乐乐羊要和他合影，问道：“这位歌迷，你要合影吗？”乐乐羊气喘吁吁地说：“宝鸭哥先生，送你一块很好吃的巧克力．”忽然一个声音传来：“宝鸭哥，吃我的大巧克力吧．”兔子扛来一块大巧克力，随手把乐乐羊的小巧克力扔了，恰巧扔在青蛙哥的叉子上，青蛙哥正要吃，“死青蛙，我的巧克力！” 乐乐羊大声喊道，但没把青蛙哥给吓住，啊呜，一口吃了．这样乐乐羊的声音就变成青蛙哥的声音，而青蛙哥的声音变成了乐乐羊的声音，急得乐乐羊只会哭，不会说话了．乐乐羊哭着来找村长，村长不在，桌子上留着一张纸条，纸条上写着：要吃变声巧克力，先得解决下面的问题．
问题：新学期就要开始了，羊村学校教务主任想制订一个学习奖励方案，把28包青草按照两种奖项奖给22只羊，其中获得一等奖的每只羊4包青草，获得二等奖的每只羊1包青草．请问获得二等奖的羊有多少只？
这可怎么做呀？乐乐羊想，按理说两种奖项奖给22只羊，两种奖项共22项，如果设要求获得二等奖的有x只羊，那么获一等奖的羊有(22-x)只．所有获二等奖的羊共得到x包青草，所有获一等奖的羊共得到4(22-x)=88-4x包青草，两种奖项共28包青草．可列方程为
x+88-4x=28，
方程左边化简得88-3x=28，
方程两边都减去28，得88-3x-28=28-28，
方程两边化简得60-3x=0,
化简得60=3x
方程两边都除以3，得x=20
所以获得二等奖的羊有20只．
算到这里乐乐羊心想，就我现在的名次，离一等奖还差点，要是我考得比贝贝羊好就可得一等奖了．聪明的你，猜猜乐乐羊是全班第几名？
乐乐羊又一次拿到了变声巧克力，变声有望啦！
（三）肥羊有几只
一天6只狼仔跟着狼妈妈正在找食物．他们来到一个小山头，四处观察，发现草原上有好多羊．“好肥的羊啊！够咱们吃几辈子了……”狼妈妈不由自主地说出声来．狼妈妈想考一考哪只狼仔最聪明．狼妈妈观察后对狼仔们说：“这里的羊共有780只，分成A、B、C三群，A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，试问A羊群有几只羊？谁先算出，且算法最简便，妈妈就教他如何捉羊．你们可以合作完成．”狼妈妈想培养狼仔们团结合作精神呀，团结力量大呀．
这下忙坏了狼仔们，都争先恐后地开始动脑筋想办法来算出A羊群的羊的只数．其中甲、乙两只狼仔正合作着解这个题目，他们走到一边，一起商量解法．狼仔甲说：“如果设A羊群有x只羊，那么根据A羊群羊的只数是B羊群的2倍，可得B羊群有只羊．根据C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，可得C羊群有5x只羊．”狼仔乙眼睛一闪，忽然有了主意，说：“这样根据三群羊的总只数是780只，可得方程．我们一起来解这个方程．”于是，他们把方程左边合并同类项得，6.5x=780．方程两边都除以6.5得x=120．他们俩高高兴兴地去向妈妈汇报了．
甲、乙两只儿狼仔商量的同时，另一边也有两只狼姐妹一起解着呢．看看她们又是怎么解的吧．姐姐认为：设B羊群有x只羊，根据A羊群羊的只数是B羊群的2倍，有A羊群的只数是2x．再根据C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，可得C羊群的羊的只数是10x，可列出方程为2x+x+10x=780．妹妹接着解姐姐列出的方程，左边合并同类项得13x=780，方程两边都除以13得x=60．因此，A羊群羊的只数是120．
剩下的两只狼仔也团结起来，他们的算法与前面的两种都不同．他们是这么想的：既然A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，就有C羊群羊的只数是B羊群的10倍，A与C两群羊的只数一共相当于B羊群的12倍，三群羊共相当于B羊群的13倍，780除以13等于60，得到B羊群的羊的只数是60，所以A羊群的羊的只数是120．
聪明的你，假如你来当狼妈妈，你来评一评，哪两只狼仔的算法最简便．
（四）羊毛织成羊毛衫
夏天到了，天气慢慢热起来，稍稍运动一下，羊仔便满身是汗．羊妈妈为羊仔剪起了羊毛，然后把羊毛送到加工厂做成羊毛衫．而实际上“羊毛衫”现在已成为一类产品的代名词，即用来泛指“针织毛衫”或称“毛针织品”．毛针织品指主要是用是以羊毛、羊绒、兔毛等动物毛纤维为主要原料纺成纱线后织成的织物，诸如兔毛衫、雪兰毛衫、羊仔毛衫等．如果一件羊毛衫标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件羊毛衫的进价是多少元？
聪明的灵灵羊开始想：利润问题的主要数量关系是“利润＝售价－进价”，因此只需理解题目中数量是对应的哪个量，结合9折的含义是原价的90%，代入数量关系式进行计算即可．于是她写下如下解法：
解：设这件羊毛衫的进价为x元，
由题可得
132╳90%- x =10% x ,
解得x =108.
答：这件羊毛衫的进价为元．
若熊爸爸想赚得2件羊毛衫的成本，至少需要在原价基础上卖多少件羊毛衫？请你来算一算．
参考答案：9件．
（五）开渠泄水 确保健康
梅雨季节，草原由于过于潮湿，草开始烂根，这可是羊村的命根呀．自从进入梅雨季节后，草原的草一直是湿漉漉的，羊仔们吃了湿草会拉肚子进而脱水生病．这可急死了羊村村长，想改善羊村的生活条件，准备给羊村修建地下渠道．初步计划挖掘一条长650米的地下渠道，羊村村长请甲、乙两地鼠兄弟完成．甲，乙两只地鼠从两头相向施工．甲地鼠每天挖掘48米，乙地鼠每天比甲地鼠多挖掘22米，而乙地鼠比甲地鼠晚开工1天．问：乙地鼠挖了多少天，两只地鼠完成挖掘任务的80%？羊村村长请羊村的总务主任算一算，以便给工钱．
总务主任想，如果设乙地鼠挖了天，乙地鼠每天比甲地鼠多挖掘22米，则他每天挖70米，经x天，乙地鼠共挖了米．甲地鼠每天挖掘48米，由于他早开工一天，实际挖了(x+1)天，共挖了48(x+1)．兄弟俩共挖了650米，根据总量等于部分和可列方程．
解：设乙地鼠挖了x天，两只地鼠完成挖掘任务的80%，则甲地鼠开工(x+1)天．
由题可得48(x+1)+(48+22) x=650╳80%，
解得118x=472，
x=4．
答：设乙地鼠开工天，两只地鼠完成挖掘任务的80%．
最终两只地鼠如期完工，羊村的草原又恢复正常，羊村为此举行了渠道竣工晚会．
（六）不足与盈余
正遇上羊村收获季节，羊村收割了草以备过冬用．羊仔们去领草，如果每只羊仔得到6捆草，那么有11捆草多余；如果每只羊仔要得到9捆草，那么还需要16捆草．求有多少只羊仔去取草？一共有多少捆草？
《九章算术》有这样的记载：
“置所出率，盈、不足各居其下．令维乘所出率，并以为实．并盈、不足为法．实如法而一．有分者，通之．盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余以约法、实．实为物价，法为人数．”
把这段话列算式表如下：
现在用列一元一次方程组解，解法如下：
题中包含两个等量关系，草的总捆数＝羊仔数×6+11，草的总捆数＝羊仔数×9－16，利用这两个等量关系，可列出方程，解这个方程即可．
解：设羊仔数为x．
则可列方程6x+11=9x-16，
解方程得x=9，
所以一共有6╳9+11=65捆草
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