Question

如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,过点C作⊙O的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD, AD+BC=CD.

求证：AD是⊙O的切线； 设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
此题的图插不上来，麻烦各位自己根据题意画一个图。

Answer 1

如图所示

(1)连接OD

因为AB是⊙O的直径

CB，CD分别与⊙O相切于BE两点

所以CB=CE

因为AD+BC=CD

即AD+CE=CD

可得AD=DE

又因为OA=OE，OD为公共边

所以△ODA≌△ODE (SSS)

所以∠OAD=∠OED=90°

即OA⊥AD，AB为直径

所以AD是⊙O的切线

(2)连接AE，OC

则∠OEA=(180-∠AOE)/2

∠EOC=(180--∠AOE)/2=∠OEA

所以AE∥OC  (内错角相等，两直线平行）

由此可得△AEF∽△COF

可得EF/OF=AF/CF=2/3

所以CF/AC=CF/(AF+CF)=3/5

CF²=EF²+CE²=EF²+BC²=4+BC²

AC²=AB²+BC²=(2OE)²+BC²=100+BC²

CF²/AC²=(3/5)²=9/25=(4+BC²)/(100+BC²)

整理得16BC²=800

BC=5√2

Answer 2

证明：BC⊥AB
所以BC为圆O的切线
CE为切线
所以CB=CE
因为AD+BC=CD,DE+CE=CD
所以AD=DE
连接OD
因为OE=OA,OD=OD,AD=DE
所以△OAD≌△OED
所以∠OED=∠OAD=90度
所以AD是圆O的切线

题目是不是OF交AC于F？
如果是的话
那么根据勾股定理
OE²+EF²=OF²
EF=2,OF=3
OE=√5
DA垂直AB，CB垂直AB，O为AB中点
那么OE为中位线
2OE=AD+BC=CD
所以CD=2√5
E为CD中点
那么CE=1/2CD=√5
因为CE=BC
所以BC=√5

Answer 3

额~~~
根据我画出来的图呢..
因为AB是⊙O直径且BC⊥AB
所以BC是⊙O的切线
因为CE也是⊙O的切线且OB=OE(半径相等)
所以四边形OBCE是正方形....
因为AD+BC=CD=CE+DE(E是CD上的一点)且BC=CE
所以AD=DE
因为DE与⊙O相切
所以AD与⊙O相切

第二问不太懂了
感觉很奇怪啊.....
留待有缘人来解答吧