Question

设函数f(x)=1/3x^3-a/2x^2+bx+c,,其中a>0,曲线y=f(x)在点P（0，f(0)）处的切线方程为y=1。

若过点（0，2）可作曲线y=f（x)的三条不同切线，求a的取值范围！

Answer 1

f'(x)=x^2-ax+b, f'(0)=b, f(0)=c
在点P（0，f(0)）处的切线方程为 y-f(0)=f'(0)(x-0)--> y-c=bx, 对比y=1
得：b=0, c=1
f'(x)=x^2-ax
若过点（0，2）可作曲线y=f（x)的三条不同切线, 设为：y-2=f'(x)x--> y=x^3-ax^2+2与f(x)有三个交点： x^3-ax^2+2=1/3x^3-a/2x^2+1, 即 F=4x^3-3ax^2+6=0有三个不等实根
F'=12x^2-6ax=12x(x-a/2), 极值点为0, a/2, 又因为a>0,因此
F(0)=6为极大值
F(a/2)=6-a^3/4为极小值
要使其有3个不同实根，需：F(a/2)<0, 即6-a^3/4<0, 即a>24^(1/3)