Question

隐函数的计算 急！求详解

求 dy/dx 已知x^2+2xy+y^3-1=0

答案貌似是(2x+2y)/(x^2+2x+3y^2)

求高手详细解答。

Answer 1

d(x^2+2xy+y^3-1)/dx=2x+2y+2xdy/dx+3y²dy/dx=0
=> dy/dx=-(2x+2y)/(2x+3y²)

追问

我是初学者，能不能加上文字说明？我看不懂啊。

追答

哦

x^2+2xy+y^3-1=0
对两边求导，得
d(x^2+2xy+y^3-1)/dx=d0/dx, (1)
其中d0/dx=0,
d(x^2+2xy+y^3-1)=d(x^2)/dx+d(2xy)/dx+d(y^3)/dx+d(-1)/dx；
d(x^2)/dx=2x, d(-1)/dx=0,
由于y是关于x的函数，所以有：
d(2xy)/dx=2y+2x dy/dx, d(y^3)/dx=3y^2 dy/dx,
则均代入(1)有 2x+2y+2x dy/dx+3y^2 dy/dx=0,
=> (2x+3y^2)dy/dx=-(2x+2y),
所以 dy/dx=-(2x+2y)/(2x+3y²) (2x+3y²≠0)

另附
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
　 隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；
利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；
把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'yF'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

追问

我不太明白d的含义，比如“2y+2x dy/dx”处，我不明白dy是怎么来的。我还以一个问题，
http://zhidao.baidu.com/question/312645973.html。麻烦你看一下，我明白了一定个额外分数的。

追答

这部分d(2xy)/dx=2yd(x)/dx+2xd(y)/dx=2y+2xdy/dx

举个简单些的例子：x+xy=1
法一：该函数可以化显，则y=(1-x)/x，
则两边对x求导，dy/dx=d[(1-x)/x]/dx=-1/x² (x≠0).
法二：用隐函数求导的方法，
x+xy=1两边对x求导得，d(x+xy)/dx=d1/dx=0,
其中d(x+xy)/dx=d(x)/dx+d(xy)/dx=1+ydx/dx+xdy/dx=1+y+xdy/dx
=> 1+y+xdy/dx=0,
则dy/dx=-(1+y)/x,
y=(1-x)/x,
则dy/dx=-1/x² (x≠0).