Question

一道初中数学题。。

如图3,点F,G分别是AC,BC上的动点,，且S三角形CFG=S四边形AFGB，作FM//BC,GN//AC分别交AB于点M,N线段AM,MN,NB能否始终组成直角三角形？

Answer 1

能够始终组成直角三角形，且AM和BN为直角边，MN为斜边
证明思路：假设AB=c，AC=b，BC=a，AM=x，MN=y,BN=z，AF=f，BG=g，
那么由已知可得，(b-f)(a-g)=（ab）/2，面积的一半；且因为平行x/c=f/b，z/c=g/a，
根据上式：f=xb/c，g=za/c，带入面积那个式子里面去，再带入c=x+y+z，全部展开，可消去得出结果y²=x²+z²。

Answer 2

如图3,点F,G分别是AC,BC上的动点,，且S三角形CFG=S四边形AFGB，作FM//BC,GN//AC分别交AB于点M,N线段AM,MN,NB能否始终组成直角三角形？
解：设AB=c，AM=m，BN=n，则MN=p=c-(m+n)；再设∠ABC=φ，则AC=csinφ，BC=ccosφ.
∵S△CFG=SᄆAFGB，∴S△CFG=(1/2)S△ABC，于是得等式：
(1/2)[(c-n)cosφ][(c-m)sinφ]=(1/2)[(1/2)c²sinφcosφ]
即有2(c-n)(c-m)=c² ，2[c²-(m+n)c+mn]=c²，于是得c²-2c(m+n)+2mn=0
将c=m+n+p代入得(m+n+p)²-2(m+n+p)(m+n)+2mn=0
(m+n)²+2(m+n)p+p²-2(m+n)²-2(m+n)p+2mn=0
p²+2mn-(m+n)²=0，p²+2mn-(m²+2mn+n²)=0
故得p²=m²+n²
即线段AM,MN,NB始终能组成直角三角形，也就是原命题成立。

Answer 3

延长FM，GN，交于O
不难证到三角形BGN与三角形AMF 三角形OMN相似
三角形FCG与三角形FOG全等
则S△MON=S△AFM+S△NGB
则MN*S△MON中MN边上的高=BN*S△BNG中BN边上的高+AM*S△AMF中AM边上的高.
因为三个三角形相似，∴各个斜边与高的比值相等
∴MN*MN=BN*BN+AM*AM
然后就是勾股定理

Answer 4

用勾股定理。

Answer 5

是