Question

数学分析中的典型问题与方法(裴礼文)第二版403页例4.5.12（收敛性）中的解1的0、 π怎么会是奇点呢？

还是不懂，这个奇点判断不需要讨论α吗？

Answer 1

奇点的判断需要根据α来讨论，书上的写法并不好，比较严谨的讲法是0和π有可能是奇点。
奇性也分好几种，比如sinx/x^α在[0,1]上的积分，那么x=0就可能是奇点
α<=0的时候0不是奇点。
0<α<=1的时候0是可去奇点，这种一般也当作不是奇点，源物但是先要进行判断才知道这种是普庆裂桐通的Riemann积分而不是广义Riemann积分，稍微复杂一点的函数不判断是一眼看不出来的，所以这种有可能产生奇性的地誉坦方也要分析。
α>1的时候0就是真的奇点了，当然也分弱奇性和强奇性，这种是必然要仔细分析的了。

追问

那我现在觉得-1<k<1时，α应小于0吧，我有点混乱了。

追答

原题中a-1=1时没有奇性，是普通的Riemann积分，一定收敛。

追问

那当x趋向0+时，题中f(x）应与x的α-1次方同阶吧，否则后面趋于π-时，矛盾啊!

追答

x趋向0+时(sinx)^{α-1}～x^{α-1}
x趋于π-时(sinx)^{α-1}～(pi-x)^{α-1}
都是局部的性质，这个有什么问题