Question

用数学归纳法证明（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)

要证明过程 不是左边多什么 谢谢~

Answer 1

证明：当n=1代入式子左右侧，
左边=（1+1）=2，右边=2^1*1=2，
左边=右边，所以n=1的时候式子成立.
假设n=k的时候式子成立,则n=k时
等式为 (k+1)(k+2)…(k+k)=2^k*1*3*…*(2k-1)
当n=k+1时
等式左边为 [(k+1)+1][(k+1)+2]....[(k+1)+k][(k+1)+k+1]
=(k+2)(k+3)…(k+k)[(k+1)+k][(k+1)+k+1]
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)×[(k+1)+k][(k+1)+k+1]/(k+1)
=2^k*1*3*…*(2k-1)×[(k+1)+k][(k+1)+k+1]/(k+1)
=2^k*1*3*…*(2k-1)×[(k+1)+k]×2
=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)×(2k+1)
=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)×[2(k+1)-1]得证
所以n=k+1时等式也成立，
综上所得,可以得出对于任意的整数n>=1,都有（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)

Answer 2

给出一个非归纳法的直接证明
左边 = (2n)! / n!
设 A = 1*3*5*……*(2n-1)
B = 2*4*6*……*(2n)
显然AB = (2n)!
将B每一个提取一个2可以得到B = 2^n * 1*2*3*4*……*n = 2^n * n!
所以(2n)! = AB = 1*3*5*……*(2n-1) * 2^n * n!
也就是（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)

Answer 3

解：
（1）当n=1时，左边=右边=2，显然成立。
（2）设当n=k（k>=1）时，等式成立，
即 (k+1)(k+2)……(k+k)=2^k*1*3……*(2k-1)成立
那么当n=k+1时，
左边=(k+2)(k+3)……(k+1+k+1)
=[(k+1)(k+2)……(k+k)]*(2k+1)(2k+2)/k+1
=[(k+1)(k+2)……(k+k)]*(2k+1)*2
右边=2^(k+1)*1*3……*(2k+1)
=[2^k*1*3……*(2k-1)]*2*(2k+1)

中括号里相等，所以左边=右边。
（3）综上可知，原名题成立。