Question

已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t,当x属于[1，m]时，f(x+t)<=x恒成立，则实数m的最大值为多少？？

求高手帮忙解下这类题！！

Answer 1

f(x＋t)＝(x＋t)^2＋2(x＋t)＋1
＝x^2＋2xt＋t^2＋2x＋2t＋1
≤x
x^2＋(2t＋1)x＋(t＋1)^2≤0
令g(x)＝x^2＋(2t＋1)x＋(t＋1)^2，方程x^2＋(2t＋1)x＋(t＋1)^2＝0的两个根为x1,x2(假设x1<x2)
要使t满足条件，则:
1≥x1,m≤x2
方程有解，则(2t＋1)^2-4(t＋1)^2≥0
4t^2＋4t＋1-4t^2-8t-4≥0
-4t≥3
t≤ -3/4
x1＝[-(2t＋1)-√(-3-4t)]/2≤1
-√(-3-4t)≤2t＋3
-3-4t≤4t^2＋12t＋9
t^2＋4t＋3≥0
t≥-1或者t≤-3
因此：t≤-3，或者-1≤t≤-3/4
x2＝[-(2t＋1)＋√(-3-4t)]/2 ≥m
令函数g(t)＝[-(2t＋1)＋√(-3-t4t)]/2
g'(t)<0
故，g(t)为减函数。
故当，t＝-3时或者3/4，m取得最大值。
当t＝3/4时，m＝1,不满足，
当t＝-3时，m＝4，满足。
故m＝4

Answer 2

f(x+t)的图象是由f(x)图象向左(或向右)平移|t|个单位而产生的,要使存在实数t,当x属于[1,m]时有f(x+t)≤3x.则必须向右移(可以画出图象).而且1和m分别是f(x+t)=3x的两根.即x2+(2t-1)x+t2+2t=0的两根是1和m.解得t=-4.m=8
这题我做过
答案我确定