Question

已知函数f（x）=sin(ωx+φ)（ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图像上相邻的一个最低点和

最高点的距离是√(4+π^2） 1、求函数f(x)的表达式2、设g(x)=ax+f(x)（a≥0），求g(x)的单调区间

Answer 1

函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，
则其图像关于y轴对称，因为其图像对称轴过图像最高点或最低点，所以f(0)=sin(0+φ)=sinφ=1(0≤φ≤π),φ=π/2,又其图像上相邻的一个最低点和最高点的纵向距离=最大值-最小值=1-(-1)=2,横向距离=半周期=T/2=π/ω,直线距离=√[2^2+(T/2)^2]=√(4+π^2),所以T/2=π/ω=π,ω=1(ω＞0)
1、函数f(x)的表达式为f(x)=sin(x+π/2)=cosx
2、g(x)=ax+f(x)=ax+cosx（a≥0），
g'(x)=a-sinx
当a≥1时，g'(x)=a-sinx≥0,g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)（无单调递减区间）
当a≤-1时，g'(x)=a-sinx≤0,g(x)的单调递减区间为(-∞,+∞)（无单递增调区间）
当-1<a<1时，令g'(x)=a-sinx≥0,得sinx≤a,2kπ-π-arcsina≤x≤2kπ+arcsina,g(x)的单调递增区间为[2kπ-π-arcsina≤x≤2kπ+arcsina],单调递减区间为[2kπ+arcsina ≤x≤2kπ+π-arcsina](k为整数)。

Answer 2

其图像相邻的一个最低点和最高点的距离是√(4+π^2）
f（x）=sin(ωx+φ)最低点和最高点的竖直距离为2
所以水平距离为√(√(4+π^2）²-2²）=π
即T/2=π ，T=2π
w=2π/T=1
f（x）=sin(ωx+φ)（ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数
φ=π/2+πn
符合范围的为φ=π/2
f（x）=sin(x+π/2)

(2)g(x)=ax+f(x)=ax+sin(x+π/2)
=ax+cos(x)
求导g'(x)=a-sinx
令g'(x)=a-sinx≥0
sinx≤a，

①当a≥1时，x在R上符合sinx≤a
此时g(x)的单调递增区间为R
无递减区间

②当0≤a＜1时，sinx≤a
解得x∈【-π-arcsina+2πn，arcsina+2πn】为递增区间
则x∈【arcsina+2πn，π-arcsina+2πn】为递减区间