Question

高一数学 不等式

不等式[（3x^2+2x+2）/（x^2+x+1）]≥m对任意实数x都成立，求自然数m的值

Answer 1

因为x^2 + x +1= (x+1/2)^2 + 3/4 >0
原不等式两边乘以x^2+x+1移向得
(3-m)x^2 + (2-m)x + 2-m >=0对任意x成立
所以3-m>0, 且判别式 (2-m)^2 - 4(3-m)(2-m)<=0
解出：
m<=2

Answer 2

让m比该式的最小值还小就行
此题就是求那个式子的最小值

追问

麻烦写下过程，谢谢了

追答

(3X^2+2X+2)/(X^2+X+1)
=(X^2+2X^2+2X+2)/(X^2+X+1)
=2 + X^2/(X^2+X+1)
X^2/(X^2+X+1)上下同除以X^2,得到
=2 + 1/(1/X^2 + 1/X + 1)
=2 + 1/((1/X + 1/2)^2 + 3/4)
=>
因为(1/X+1/2)^2最小值为0
所以1/((1/X + 1/2)^2 + 3/4)最大值为4/3
因此
2<(3X^2+2X+2)/(X^2+X+1)<=10/3

参考资料： 某个知道问答

追问

可是答案给的是：m≤2，即m=0或m=1或m=2

Answer 3

把分母平方项移下来——即3/2——然后把分子除下来解个基本不等式就行了

Answer 4

解：因为x^2+x+1=（x+1/2）^2+3/4＞0，所以
[（3x^2+2x+2）/（x^2+x+1）]≥m得到3x^2+2x+2≥m(x^2+x+1),所以
（3-m)x^2+(2-m)x+2-m≥0恒成立，即△=（2-m)^2-4*(3-m)*(2-m)≤0，解得m≥10/3或m≤2

追问

答案给的是：m≤2，即m=0或m=1或m=2