Question

已知f(x)是奇函数，在(0,正无穷）上是增函数，且f(x)小于0，判断g(x)=1/f(x)在（负无穷，o)上的单调性

并给出证明。（要易懂的步骤哦，在线等待哦，谢了）

Answer 1

解：因为f(x)是奇函数，所以对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=-f(x)
又函数f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(x)<0
则f(x)在(-∞,0)上具有相同的单调性，也是增函数
所以当x<0时，-x>0
且f(x)=-f(-x)>0
此时g(x)=1/f(x) >0
可知函数g(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是减函数
以下给出上述判断的证明：
在(-∞,0)上取任意实数x1，x2，且x1<x2<0
则g(x1)-g(x2)
=1/f(x1) -1/f(x2)
=[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)*f(x2)]
因为f(x)在(-∞,0)上是增函数且x1<x2<0，
所以f(x1)<f(x2)即f(x2)-f(x1)>0
又当x<0时，f(x)>0
则f(x1)>0,f(x2)>0
所以[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)*f(x2)]>0
这就是说当x1<x2<0时，有g(x1)-g(x2)>0即g(x1)>g(x2)
所以函数g(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是减函数

Answer 2

当x>0时，f(x)<0,又为增函数，所以对任意x1,x2<0;-x1<-x2,f(-x1)<f(-x2).
又f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x),所以对x<0,f(x)>0,且f(x2)<f(x1),所以1/f(x2)>1/f(x1)即g(x2)>g(x1)
由定义，对任意x1,x2<0,x1>x2,g(x2)>g(x1)
所以g(x)在(负无穷，0)上单调减