Question

关于极限各项和的应用题

正方形ABCD的边长为2，圆O1与正方形ABCD的各边相切，圆O2与圆O1相外切，且与正方形ABCD的两边相切（有四个）；又圆O3与圆O2相外切，且与正方形ABCD的两边相切；......
1)求无穷个圆的周长之和；
2）求无穷个圆的面积之和。
[详细过程及答案]

Answer 1

设直径为d：划一条对角线可得：d1+2(d2+d3+...dn+...)=2[2]
注：[2]表示根号2; d1=2
可解得：d2+d3+...dn+...=[2]-1
因此无穷个圆的周长之和=pai*d1+pai*4*（d2+d3+...dn+...)=(4[2]-2)pai

第2题稍有难度，将1/4个正方形放大可以得到下列关系:dn+1=(1-[2]/2)Rn,其中Rn为第n个圆的半径.因此d2=1-[2]/2,d3=d2的平方除以2
除圆1外无穷个圆的面积之和：S=pai*(R2^+R3^+...Rn^+...)
括号内构成了首项是1-[2]/2平方，公比是4分之一1-[2]/2平方的等比数列，求得：S=40-28[2] pai
因此无穷个圆的面积之和为pai*1+4S= (161-112[2]) pai

看在我打字那么辛苦的份上再给几分吧^_^

Answer 2

1。圆O1到任何一个顶点的距离可以看到，是除了o1以外所有圆的直径加o1的半径。o1的半径为1，这样，无穷个圆的周长和为：
4*∏（根2-1）+2∏=4根2*∏-2∏

2。假设第n个圆半径为R第n+1个圆为r。
则可得：r+根2*r+R=根2*R
则可得：r=（3-2*根2）R
s=s1+4(s2+s3+...)=∏+4∏[(3-2*根2)^2+(3-2*根2)^4+(3-2*根2)^6+...]