求不定积分∫1/sin∧3xdx
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可以考虑分部积分法，答案如图所示
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
正弦振动多用于找出产品设计或包装设计的脆弱点。看在哪一个具体频率点响应最大（共振点）；正弦振动在任一瞬间只包含一种频率的振动，而随机振动在任一瞬间包含频谱范围内的各种频率的振动。由于随机振动包含频谱内所有的频率，所以样品上的共振点会同时激发...
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=∫csc^3xdx
=-∫cscxd(cotx)
=-cscxcotx+∫cotxd(cscx)
=-cscxcotx-∫cscxcot^2xdx
=-cscxcotx-∫cscx(csc^2x-1)dx
=-cscxcotx-∫csc^3xdx+∫cscxdx
=-cscxcotx-∫csc^3xdx+ln|cscx-cotx|
由此可得,原积分：
∫1/sin^3xdx
=[ln|cscx-cotx|-cscxcotx]/2+C
=-∫cscxd(cotx)
=-cscxcotx+∫cotxd(cscx)
=-cscxcotx-∫cscxcot^2xdx
=-cscxcotx-∫cscx(csc^2x-1)dx
=-cscxcotx-∫csc^3xdx+∫cscxdx
=-cscxcotx-∫csc^3xdx+ln|cscx-cotx|
由此可得,原积分：
∫1/sin^3xdx
=[ln|cscx-cotx|-cscxcotx]/2+C
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设u=cosx,则du=-sinxdx,sin^x=1-u^2,
∫dx/(sinx)^3
=∫-du/(1-u^2)^2
=(-1/4)∫[1/(1-u)+1/(1+u)+1/(1-u)^2+1/(1+u)^2]du
=(-1/4)[ln|(1+u)/(1-u)-1/(u-1)+1/(u+1)]+c
=(-1/4)[ln|(1+cosx)/(1-cosx)|+1/(1-cosx)+1/(1+cosx)]+c.
∫dx/(sinx)^3
=∫-du/(1-u^2)^2
=(-1/4)∫[1/(1-u)+1/(1+u)+1/(1-u)^2+1/(1+u)^2]du
=(-1/4)[ln|(1+u)/(1-u)-1/(u-1)+1/(u+1)]+c
=(-1/4)[ln|(1+cosx)/(1-cosx)|+1/(1-cosx)+1/(1+cosx)]+c.
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