Question

请各位高手帮我解答！！已知向量a=(1，2)，b=(cosa，sina)，设m=a+tb（t为是实数）

1.求当a等于π/4，求当|m|取最小值时实数t的值
2.当a垂直b，是否存在实数t使向量a-b和向量m的夹脚为π/4，若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由。
详细过程，O(∩_∩)O谢谢！！

Answer 1

1、m=a+tb=(1,2)+t(cosa,sina)=(1+tcosa,2+tsina)
当a=π/4时，则m=(1+(t根号2)/2,2+(t根号2)/2)，于是
|m|^2=[1+(t根号2)/2]^2+[2+(t根号2)/2]^2=t^2+(3倍根号2)t+5=[t+(3倍根号2)/2]^2+1/2
显然当t=-(3倍根号2)/2时，|m|取得最小值；
2、若a⊥b，则ab=0，即(1,2)(cosa,sina)=0，cosa+2sina=0
向量a-b(1-cosa,2-sina)和向量m(1+tcosa,2+tsina)的夹角为π/4，故
(a-b)*m=(1-cosa,2-sina)(1+tcosa,2+tsina)=5-t+(t-1)(cosa+2sina)=5-t，
|a-b|=根号[(1-cosa)^2+(2-sina)^2]=根号[6-2(cosa+2sina)]=根号6，
|m|=根号[(1+tcosa)^2+(2+tsina)^2]=根号[5+t^2+2t(cosa+2sina)]=根号(5+t^2)，于是
cosπ/4=[(a-b)*m]/[|a-b|*|m|]=(5-t)/[(根号6)(根号(5+t^2))]
即(5-t)/[(根号6)(根号(5+t^2))]=(根号2)/2
整理得：t^2+5t-5=0
解得t=(-5-3倍根号5)/2或t=(-5+3倍根号5)/2
综上当t=(-5-3倍根号5)/2或t=(-5+3倍根号5)/2时，向量a-b和向量m的夹角为π/4。

追问

向量a-b(1-cosa,2-sina)和向量m(1+tcosa,2+tsina)的夹角为π/4，故
(a-b)*m=(1-cosa,2-sina)(1+tcosa,2+tsina)=5-t+(t-1)(cosa+2sina)=5-t，
这里看不懂，请问(a-b)*m是等于（1-cosa）*（1+tcosa）+（2-sina）*(2+tsina)吗？
由5-t+(t-1)(cosa+2sina)如何得到5-t，是将a=π/4带入吗？

追答

(a-b)*m表示两个向量的内积（数量积），它有两种计算方法：
(a-b)*m=|a-b|*|m|*cosP（P表示这两个向量的夹角）；(a-b)*m=xu+yv（(x,y)与(u,v)分别表示这两个向量的坐标）即a-b)*m=（1-cosa）*（1+tcosa）+（2-sina）*(2+tsina)
由若a⊥b，则ab=0，即(1,2)(cosa,sina)=0，cosa+2sina=0得到5-t+(t-1)(cosa+2sina)=5-t

Answer 2

so easy 啦 问老师啦