在三角形ABC中，角C=90，D为BC边上的一点，DE垂直AB，垂足为E，角ADC=45，若DE：AE=1:5，BE=3，求BD的长
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解：设AE=5a，DE=a
BE=3
在直角三角形BDE中，BD=√(9+a²),勾股定理求出
同理直角三角形ADE中，AD²=AE²+DE²，AD=√26a
因为角ADC=45,所以AC=CD，所以AC²+CD²=AD²，解出AC=√13a
因为∠B=∠B,∠ACB=∠BED=90
所以三角形BED相似三角形BCA
所以BD/AB=DE/AC
√(9+a²)/(5a+3)=a/√13a
(9+a²)/(25a²+30a+9)=1/13
25a²+30a+9=13×8+13a²
化简
2a²+5a-18=0
(2a+9)(a-2)=0
a=2或a=-9/2（舍去）
所以BD=√(9+4)=√13
BE=3
在直角三角形BDE中，BD=√(9+a²),勾股定理求出
同理直角三角形ADE中，AD²=AE²+DE²，AD=√26a
因为角ADC=45,所以AC=CD，所以AC²+CD²=AD²，解出AC=√13a
因为∠B=∠B,∠ACB=∠BED=90
所以三角形BED相似三角形BCA
所以BD/AB=DE/AC
√(9+a²)/(5a+3)=a/√13a
(9+a²)/(25a²+30a+9)=1/13
25a²+30a+9=13×8+13a²
化简
2a²+5a-18=0
(2a+9)(a-2)=0
a=2或a=-9/2（舍去）
所以BD=√(9+4)=√13
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