Question

高等数学2 求高手解答 谢！

Answer 1

6。已知函数z=xy在条件x+y=1下有极大值，则极大值为______________
解：z=xy=x(1-x)=-x²+x=-(x²-x)=-[(x-1/2)²-1/4]=-(x-1/2)²+1/4≦1/4
即当x=1/2，y=1/2时z获得最大值1/4。
7。在曲线x=t，y=-t²，z=t³的切线中，与平面x-2y+3z=6垂直的切线方程是_____________
解：平面x-2y+3z=6的法线的方向数为(1，-2，3).
将曲线参数方程代入平面方程得：t+2t²+3t³=6，由此解得t=1；因此曲线与平面的交点M的坐标
为(1，-1，1)。
dx/dt=1，dy/dt=-2t，dz/dt=3t²；对应t=1的导数为：xo′=1，yo′=-2，zo′=3.
于是得过M且与平面垂直的切线方程为：(x-1)/1=(y+1)/(-2)=(z-1)/3.
8.设∑为曲面z=√(x²+y²)被z=1所截部分，则(∑)∬(x²+y²)ds=____________
解：积分域∑ ： x²+y²=1，这是一个半径为1的圆域，我们改用极坐标计算二重积分：
(∑)∬(x²+y²)ds=(∑)∬(x²+y²)dxdy=(∑)∬(r²cos²θ+r²sin²θ)rdrdθ=(∑)∬r³drdθ
=[0，2π]∫dθ[0，1]∫r³dr=2π/4=π/2.
9.函数f(x)=x/(2-x)的麦克劳林级数为______，收敛域为_______.
解：f(x)=x/(2-x)=-1+2/(2-x)
f′(x)=2/(2-x)²； f″(x)=4(2-x)/(2-x)⁴=4/(2-x)³； f′″(x)=12(2-x)²/(2-x)^6=12/(2-x)⁴；
f⁴(x)=48/(2-x)^5；..........
f(0)=0，f′(0)=1/2， f″(0)=1/2，f′″(0)=12/16=3/4，f⁴(0)=48/32=3/2；......
故x/(2-x)=(1/2)x+(1/4)x²+(1/8)x³+(1/16)x⁴+........+(1/2ⁿ)xⁿ+........
收敛区间：a‹n+1›/a‹n›=[1/2^(n+1)]/[(1/2ⁿ)xⁿ]=1/2，故收敛半径R=2，收敛区间[-2,，2]。
10.将三重积分I=Ω∫∫∫(x²+y²+z²)dυ，其中积分域Ω是由z=√(4-x²-y²)和z=0所围成，化为直角坐标
下的三次积分______________
解：由z=√(4-x²-y²)得x²+y²+z²=4，这是一个球心在原点，半径R=2的球，积分域Ω是此球的上
半部分。
I=Ω∫∫∫(x²+y²+z²)dυ=I=Ω∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
=[0，π]∫dφ[0，2π]∫dθ[0，2]∫r²(sin²φcos²θ+sin²φsin²θ+cos²φ)dr
=[0，π]∫dφ[0，2π]∫dθ[0，2]∫r²dr=(8/3)×2π²=16π²/3
11交换积分次序，并计算二次积分[1，5]∫(1/y)dy[y，5]∫(1/lnx)dx
解：积分值与积分次序无关（本题），但问题是：∫(1/lnx)dx无法表为有限形式。
12。设有函数u=z√(x²-y²)和点A(5，4，-3),问：函数u在点A沿什么方向的导数最大？最大的方向
导数是多少？
解：∂u/∂x︱[A]=xz/√(x²-y²)︱[A]=-15/3；∂u/∂y︱[A]=-yz/√(x²-y²)︱[A]=12/3；
∂u/∂z︱[A]=√(x²-y²)︱[A]=3
故(∂u/∂L)‹A›=-(15/3)cosα+(12/3)cosβ+3cosγ
其中cos²α+cos²β+cos²γ=1
显然，当α=π/2，β=γ=π/4时(∂u/∂L)‹A›最大，[(∂u/∂L)‹A›]max=[(12/3)+3](√2/2)=(7/2)√2.
13.计算I=[L]∫(sinx-e^y)dy+[-ln(1+x²)+ycosx]dx其中L是曲线x=√(1-y²)上点A(0，-1)到点B(0，1)上的一段弧。
解： 曲线L是圆x²+y²=1的右半部分，把其方程改为参数方程：令x=cost，y=sint，-π/2≦t≦π/2
dx=dcost=-sintdt，dy=dsint=costdt，t=-π/2时，x=0，y=-1；t=π/2时，x=0，y=1.故：
I=[L]∫(sinx-e^y)dy+[-ln(1-x²)+ycosx]dx
=[-π/2，π/2]∫{[sin(cost)-e^(sint)]cost-[-ln(1-cos²t)+sintcos(cost)]sint}dt
=[-π/2，π/2]∫{[sin(cost)]cost-sin²tcos(cost)-coste^(sint)+sint ln(sin²t)}dt
为简便起见，我把上面的四个积分分开计算：
第一个：∫sin(cost)costdt=∫sin(cost)d(sint)=sin(cost)sint-∫sintcos(cost)(-sint)dt
=sin(cost)sint+∫sin²tcos(cost)dt.........................................(1)
第二个：∫[-sin²t cos(cost)dt=-∫sin²tcos(cost)dt...................(2)
(1)+(2)并代入上下限得 sin(cost)sint︱[-π/2，π/2]=0..............................(A)
第三个：-∫cost e^(sint)dt=-∫e^(sint)d(sint)=-e^(sint)............(3)
代入上下限得-e^(sint)︱[-π/2，π/2]=-e+1/e=(1-e²)/e...............................(B)
第四个：∫sint ln(sin²t)dt=-∫ ln(sin²t)d(cost)=-[cost ln(sin²t)-∫(2sintcos²t/sin²t)dt]
=-cost ln(sin²t)+2∫[(cos²t)/sint]dt=-cost ln(sin²t)+2∫[(1-sin²t)/sint]dt
=-cost ln(sin²t)+2[∫csctdt-∫sintdt]=-cost ln(sin²t)+2[ln︱csct-cot t︱-cost]
代入上下限得{-cost ln(sin²t)+2[ln︱csct-cot t︱-cost]}︱[-π/2，π/2]=0......(C)
故I=[L]∫(sinx-e^y)dy+[-ln(1+x²)+ycosx]dx=A+B+C=(1-e²)/e.

Answer 2

看不清楚额

Answer 3

都看不清楚