Question

f(x)=(10^x)-(10^-x)/(10^x)+(10^-x)

f(x)=(10^x)-(10^-x)/(10^x)+(10^-x)

Answer 1

因为f(-x)=[10^(-x)-10^x]/[10^(-x)+10^x]=-[10^x-10^(-x)]/[10^x+10^(-x)] =-f(x),
所以f(x)是奇函数
f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数
易知，函数f(x)=[10^x-10^(-x)]/[10^x+10^(-x)].的定义域为R.换元。可设t=10^x.x∈R,∴t＞0.故问题可化为求函数g(t)=[t-(1/t)]/[t+(1/t)]在(0,+∞)上的值域。∵g(t)=(t²-1)/(t²+1),∴g(t)-1=-2/(t²+1).∵t＞0.===>t²+1＞1.===>0＜1/(t²+1)＜1.===>0＜2/(t²+1)＜2.===>0＜1-g(t)＜2.===>-1＜g(t)＜1.∴原来函数f(x)的值域为(-1,1).