Question

三棱柱ABC-A1B1C1中，BC垂直平面AA1C1C,AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=派／3，D为AA1的中点。

1.求证：A1C垂直平面ABC
2.截面BDC1将三棱柱ABC-A1B1C1分成两部分，其体积分别是V1。V2。求V1：V2的值

Answer 1

1.） 只需证明A1C垂直于平面ABC内的两条相交直线i即可。事实上。BC垂直于侧面AA1C1C，所以BC垂直于AC；另一方面，在三角形ACA1中，AA1=2，AC=1，角CAA1=60度，由余弦定理可知A1C=根号3，满足勾股定理，所以角A1CA是直角，即A1C垂直于AC。证完。
2.） 我们常常看到，一道大题，往往它的头一问为第二问打基础。
既然A1C垂直于底面ABC，所以我们先求出整个三棱柱的体积V。
底面AC=BC=1，BC垂直于AC，三角形ACB就是等腰直角三角形。面积为½。又，A1C=√3，所以三棱柱的体积等于底面积乘高，V=√3／2.
现在我们把侧面ADC1C当做四棱锥B_ADC1C的底面来分析。那么它的高就是BC=1，平行四边形AA1C1C的面积：为底AC=1，乘以高A1C1=√3，等于√3。由于D为中点，则易知ADC1C的面积等于√3的3/4，即3√3／4。所以，V1 等于三分之一的底面积乘高，等于√3／4.
V2=V-V1=√3／2－√3／4＝√3／2.所以V1：V2=1：1。