Question

下面题目怎么做？

Answer 1

先题目解读，该题的考点是柯西不等式，设x,y,z是n维欧几里得空间中的点（其形式为n维坐标）证明不等式:

(1)证明||x-z||<=||x-y||+||y-z||(2)|(||x||-||y||)|<=||x-y||，其中||a||表示a的L2范数（即欧式距离）（范数的英文叫norm，其实是衡量向量之间的距离用的），为向量a的所有元素(分量)的平方之和的开平方；|a|表示a的L1范数，是向量a的各元素(分量)的绝对值之和，对一维向量来说它就是绝对值。

思路：当n=2或n=3时，显然不等式一成立：①若x,y,z三点不共线：则x,y,z分别为三角形的三点坐标，三角形的两边之和大于第三边；②若x,y,z三点共线（也可以看成是x,y,z一维向量的情况）：则当点y位于线段xz上时，点x到点y的距离+点y到点z的距离=点x到点z的距离，另外，当点y位于线段xz以外时，点x到点y的距离+点y到点z的距离>点x到点z的距离。

证明过程：

⑵不等式二与不等式一的思路相同，不过仅仅是把点z替换成了坐标原点O，把”三角形的两边之和大于第三边“替换成了”三角形的两边之差小于第三边“而已。说了思路，接下来要公式变形，把它变成熟知的柯西不等式。

证明过程：

Answer 2

∣x-z∣=∣x-y+y-z∣≤∣x-y∣+∣y-z∣