Question

已知二次函数f(x)=ax平方+bx（a，b为常数，且a不等于0）满足条件f（x+1）=f（1-x）且方程f（x）=x有等根

（1）求f（x)的解析式(2)是否存在实数m,n(m＜n），使f(x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在，求出m,n的值，如果不存在，说明理由。

Answer 1

(1)、由f（x+1）=f（1-x）可知x=1为f（x）的对称轴，
即 -b/2a=1，所以b= -2a，
又f（x）=x有等根，
所以f（x）-x =ax^2 - 2ax-x=0有等根,
显然2a+1=0，故a= -0.5，b=1
故f（x)的解析式为f（x)= -0.5x^2+x

(2)、显然f（x)是在x<1时单调递增，在x>1时单调递减
分三种情况讨论
若n<1，
则f（x)在[m,n]上单调递增，
所以f（m)=3m，f（n)=3n，
即m，n分别是f（x)-3x=0的两个解，
故-0.5x^2+x-3x=0，化简得x^2+4x=0，
两个根分别是 -4和0，
则m= -4，n=0

若m<1，且n>1，
则f（x)在[m,1]上单调递增，在[1,n]上单调递减，
故在此区间上f（x)的最大值为f(1)=0.5，
则3n=0.5，解得n=1/6，与n>1矛盾，
故此情况下无解

若m>1，
则f（x)在[m,n]上单调递减，
所以f（m)=3n，f（n)=3m，
即-0.5m^2+m -3n=0，
-0.5n^2+n -3m=0，
两式相减可得，0.5(n-m)(n+m)=4n -4m，
显然n-m不等于0，
故n+m=8，
代入-0.5n^2+n -3m=0中，
可得n^2 -8n+48=0，显然此一元二次方程无实数解

故综上所得，m= -4，n=0