Question

设s=(√1x2)+(√2x3)+(√3x4)+...+(√n(n+1)),求证n(n+1)/2<s<n(n+2)/2。

用放缩法做

Answer 1

s=(√1x2)+(√2x3)+(√3x4)+...+(√n(n+1))，√1x2＞1，√2x3＞2，√3x4＞3┄┄√n(n+1)＞n，
s=(√1x2)+(√2x3)+(√3x4)+...+(√n(n+1))＞1+2+3┄┄+n=n(n+1)/2；
(1+2)/2＞√(1×2),(2+3)/2＞√(2×3)┄┄(n+n+1)/2＞√[n(n+1)],上式两边相加得：
(1+2+3+┄┄+n+n+1)-(1+n+1)/2＞(√1x2)+(√2x3)+(√3x4)+...+(√[n(n+1)]=s
(n+1)(n+2)/2-(n+2)/2=n(n+2)/2＞(√1x2)+(√2x3)+(√3x4)+...+(√[n(n+1)]=s
综合以上，n(n+1)/2<s<n(n+2)/2，成立。