Question

关于x的不等式x²+ax-a+1＞0 在0≤x≤1上恒成立 求a范围

Answer 1

解： 不妨设f(x)＝x^2+ax-a+1
则对称轴为直线x=-a/2
若-a/2≤0，即a>=0，则f(x)在0,1上为单调增函数，所以f(0)=-a+1>0，即a<1∴0≤a<1
若0<-a/2<1，即-2<a<0，则f(-a/2)=-a^2/4-a+1>0，∴-2√2-2<a<2√2-2，∴-2<a<2√2-2
若-a/2≥1，即a≤-2，则f(x)在0,1上为单调减函数，所以f(1)=2>0，∴a≤-2
综上，a的取值范围是 a<1
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

Answer 2

x²+ax-a+1>0
a(x-1)>-(x²+1) ①
∵0≤x≤1

若x=1
①可化为：0>-2 恒成立

若0≤x<1，则x-1<0
①可化为：a<-(x²+1)/(x-1)
即：a<(x²+1)/(1-x)
而(x²+1)/(1-x)
=(x²-2x+1+2x-2+2)/(1-x)
=[(1-x)²-2(1-x)+2]/(1-x)
=(1-x)+2/(1-x)-2
令(1-x)=2/(1-x)
则1-x=√2
而0≤x<1
即0<1-x≤1
∴当1-x=1，即x=0时
(x²+1)/(1-x)有最小值(0²+1)/(1-0)=1
∴(x²+1)/(1-x)≥1
而a<(x²+1)/(1-x)在0≤x<1上恒成立
∴a<1

综上所述：实数a的取值范围是：a<1

追问

好像不对吧 我怎么做出来3个解

Answer 3

x²+1＞a-ax
x²+1＞a(1-x)
(1)当x=1时，不等式化为2>0恒成立，那a可以是一切实数
(2)当0≤x<1时，1-x>0
不等式化为a<(x²+1)/(1-x)
令f(x)=(x²+1)/(1-x)
f'(x)=[2x(1-x)+(x²+1)]/(1-x)
=(2x-x²+1)/(1-x)>0
所以f(x)在0≤x<1是增函数
f(x)min=f(0)=1
所以a<1
由于(1)(2)需同时成立，故取交集
所以结论是a<1

Answer 4

f(x)=x²+ax-a+1＞0
x=-a/2
1)-a/2<0 a>0
f(0)>0
-a+1＞0
a<1
0<a<1
2)0≤-a/2≤1
-2≤a≤0
f(-a/2)>0
a²/4-a²/2-a+1>0
a²+4a-4<0
-2-2√2<a<-2+2√2
∴-2≤a≤0
3)-a/2>1
a<-2
f(1)>0
1+a-a+1＞0
∴0<a<1 -2≤a≤0 a<-2
∴a<1

Answer 5

解：分三种情况
(1)方程x²+ax-a+1=0 △<0
△=a²-4(-a+1)<0 -2√2-2<a<2√2-2
(2)f(x)=x²+ax-a+1 的对称轴 x=-a/2<0 且f(0)>0
a>0 且 a<1 得：0<a<1
(3)f(x)=x²+ax-a+1 的对称轴 x=-a/2>1 且f(1)>0
a<-2 且 f(1)=2>0 得：a<-2
综上所述：a<1
希望帮助到lz，望采纳，谢谢！

Answer 6

解：
x^2+ax-a+1>0
a(x-1)+(x^2+1)>0
a(x-1)>-(1+x^2)

【1】x=1
则上式变为0>-2
对a属于R恒成立

【2】0=<x<1
则：x-1<0
上式变为：a<(1+x^2)/(1-x)
设f(x)=(1+x^2)/(1-x)
f(x)
=[(x^2-2x+1)+2x]/(1-x)
=[(1-x)^2-2(1-x)+2]/(1-x)
=(1-x)+2/(1-x)-2

设t=1-x
则：t=1-x属于(0,1]
f(x)=t + 2/t -2
由对勾函数图像可知
f(x)在t属于(0,1]上单减
故f(x)最小=f(1)=1

故a<[(1+x^2)/(1-x)]min=1
综上,a<1