高等数学——曲线积分与曲面积分
函数 在曲线弧 上有界，将 分成 个小段，设第 段的长度为 ， 为第 个小段上任意取定的一点，则函数 在曲线弧 上的曲线积分为
性质 1 设 为常数，则
性质 2 如果积分弧段 可分成两段光滑曲线弧 与 ，则
性质 3 如果在 上， ，则有
特殊地，有
定理 设 在曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为
其中， 在 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且
如果曲线 由方程 给出，那么可以把这种情形看着特殊的参数方程
则公式 便为
对坐标的曲线积分，我们必须注意积分弧段的方向。
设 在有向曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为
当参数 单调的由 变到 时，点 从 的起点 沿 运动到终点 ， 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且
其中 为有向曲线弧 在点 处得切向量的方向角。
用向量形式的表达方式如下
其中 为有向曲线弧 在点 处的单位切向量， ，称为有向曲线元。
(1) 对于平面区域 的边界曲线 ，规定 的正向如下：当观察者沿 这个方向行走时， 内在他近处的那一部分总在他的左边。如图， 的正向是逆时针方向， 的正向是顺时针方向。
(2) 设 为平面区域，如果 内任一闭曲线所围的部分都属于 ，则 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有
其中 是 的取正向的边界条件。
(1) 对于复连通区域 ，格林公式 右端应包括区域 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对于区域 来说都是正向的。
(2) 在公式 中取 ，即得
上式左端为闭区域 的面积 的两倍，因此有
定理 1 设区域 是一个单连通域，函数 及 在 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在 内与路劲无关（或沿 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是
在 内恒成立。
定理 2 设区域 是一个单连通域，函数 及 在 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在 内为某一函数 的全微分的充分必要条件是
在 内恒成立。
推论 设区域 是一个单连通域，函数 及 在 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在 内与路劲无关的充分必要条件是：在 内存在函数 ，使
函数 在曲面 上有界，将 分成 个小块，设第 小块的面积为 ， 为 上任意取定的一点，则函数 在曲面 上的曲面积分为
其中 为 在 面上的投影。
设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，将 任意分成 快小曲面 （ 又同时表示第 快小曲面的面积）， 在 面上的投影为 ， 为 上任意取定的一点，则函数 在有向曲面 上对坐标 、 的曲面积分为
类似的可以定义函数 在有向曲面 上对坐标 、 的曲面积分为
函数 在有向曲面 上对坐标 、 的曲面积分为
设积分曲面 是由方程 给出，则有
积分面取为 的上侧（即 ）时取正，否则取负。
其中 是有向曲面 在点 处的法向量的方向余弦。
写成向量形式
其中 ， 为有向曲面 在点 处的单位法向量， 称为有向曲面元。
设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数 、 、 在 具有一阶连续偏导数，则有
或
其中 是 的整个边界曲面的外侧， 是 在点 处的法向量的方向余弦。
设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手规则，函数 、 、 在曲面 （连同边界 ）具有一阶连续偏导数，则有
也可以写成
利用两类曲面积分之间的关系，也可以写成
其中 为有向曲面 在点 处的单位法向量
