Question

求S的取值范围(数学高手帮下忙)

若实数x,y满足x*x+4y*y＝4x，则S＝x*x+y*y的取值范围是？
谢谢loveisalove.
这道题能用高一的知识做吗?

Answer 1

下面的方法一只用到高一第一学期的知识点，方法二涉及到高二第二学期的三角函数.

方法一：条件得4y方＝4x-x方，所以4x-x方>(或＝)0，解不等式得x的取值范围是[0,4]；所以
4S方＝4x方+4y方＝4x方+4x-x方＝3x方+4x＝3(x+2/3)方-4/3,
用二次函数的性质得S的范围是[0,16].

方法二：将条件配方为（x-2)平方+（2y）平方＝4，再用三角换元：x=2+2cosa,y=sina,则
S＝4(1+cosa)平方+(sina)平方＝3(cosa)平方+8cosa+5＝3(cosa+4/3)平方-1/3,
再用二次函数的性质得S的范围是[0,16].
当cosa＝-1，即x=0,y=0时，S＝0（最小值）；
当cosa＝1，即x=4,y=0时，S＝16（最大值）；