Question

已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F． 求证：BE＋CF＞EF．

满意追加分数！！！

Answer 1

如图：截DN=BD=CD，连EN，NF，因为在三角形BDE与三角形NDE中，ED=ED，角NDE=角BDE，所以两三角形全等，所以BE=EN。同理：CF=NF，又EFN构成一个三角形，所以两边之和大于第三边，所以EN+NF＞EF，代换BE＋CF＞EF得证。

追问

同理是？？

追答

也就是说与前边的两三角形全等一样的道理。（S∠S）

Answer 2

证明：过C作CM‖AB,交ED延长线于M点，连FM
所以∠B=∠DCM,∠BED=∠CMD,
又AE为三角形ABC中线，
所以BD=CD,
所以△BDE≌△CDM
所以BE=CM,ED=MD
因为DE平分∠BDA交AB于E,
所以∠ADE=∠ADB/2,
因为DF平分∠ADC交AC于F,
所以∠ADF=∠ADC/2,
所以∠ADE+∠ADF=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2,
因为∠ADB+∠ADC=180,
所以∠ADE+∠ADF=90°，
所以FD垂直平分EM,
所以EF=FM,
在三角形CFM中，CM+FC>FM,
即BE+CF>EF