Question

高分悬赏 满意追加200 线性代数中齐次线性方程组的自由未知量如何选取,根据什么原则? 请举例说明

Answer 1

自由未知量的一般选取方法:
先将系数矩阵经初等行变换化成行简化梯矩阵
非零行的首非零元所在列对应的是约束未知量
其余未知量即为自由未知量

由上面的选取方法可知:
约束未知量所在列即构成A的列向量组的一个极大无关组
自由未知量所在列可由此极大无关组唯一线性表示
这样就能保证:对于自由未知量任取一组数都能唯一解出约束未知量

把方程组表示成向量形式就更清楚了:
比如, α1,...,αr 是 α1,...,αn 的一个极大无关组
则 xr+1,...,xn 是自由未知量
方程写成
x1α1+...+xrαr = -xr+1αr+1+...-xnαn

对xr+1,...,xn的任一组取值,
线性组合-xr+1αr+1+...-xnαn可由α1,...,αr唯一线性表示
即可唯一确定约束未知量 x1,...,xr.

例: 齐次线性方程组
x1-x2+x3-x4=0
x1-x2-x3+x4=0
x1-x2-2x3+2x4=0

分析: 系数矩阵 A =
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
1 -1 -2 2

r2-r1,r3-r1
1 -1 1 -1
0 0 -2 2
0 0 -3 3

r2*(-1/2),r3+3r2,r1-r2
1 -1 0 0
0 0 1 -1
0 0 0 0

根据一般选取方法, x1,x3 是约束未知量, x2,x4 是自由未知量
同解方程组为
x1=x2
x3=x4
对 x2,x4 任取一组数, 可唯一解出 x1,x3.

那么, 能不能取x1,x4作为自由未知量呢?
按上面提到的原则是可以的
因为第2,3列也是一个极大无关组

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